初中数学

如图,抛物线 y = - 3 4 x 2 + bx + c x 轴交于点 A 和点 C ( - 1 , 0 ) ,与 y 轴交于点 B ( 0 , 3 ) ,连接 AB BC ,点 P 是抛物线第一象限上的一动点,过点 P PD x 轴于点 D ,交 AB 于点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,作 PF PD 于点 P ,使 PF = 1 2 OA ,以 PE PF 为邻边作矩形 PEGF .当矩形 PEGF 的面积是 ΔBOC 面积的3倍时,求点 P 的坐标;

(3)如图2,当点 P 运动到抛物线的顶点时,点 Q 在直线 PD 上,若以点 Q A B 为顶点的三角形是锐角三角形,请直接写出点 Q 纵坐标 n 的取值范围.

来源:2021年辽宁省本溪市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y = a x 2 + bx 4 x 轴于 A ( 1 , 0 ) B ( 4 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C

(1)求该抛物线的表达式;

(2)点 P 为第四象限内抛物线上一点,连接 PB ,过点 C CQ / / BP x 轴于点 Q ,连接 PQ ,求 ΔPBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标;

(3)在(2)的条件下,将抛物线 y = a x 2 + bx 4 向右平移经过点 ( 1 2 0 ) 时,得到新抛物线 y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ,点 E 在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点 F ,使得以 A P E F 为顶点的四边形为矩形,若存在,请写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.

参考:若点 P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) ,则线段 P 1 P 2 的中点 P 0 的坐标为 ( x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 )

来源:2021年山东省菏泽市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx - 5 x 轴交于点 A ( - 1 , 0 ) B ( - 5 , 0 ) ,与 y 轴交于点 C ,顶点为 P ,点 N 在抛物线对称轴上且位于 x 轴下方,连 AN 交抛物线于 M ,连 AC CM

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,当 tan ACM = 2 时,求 M 点的横坐标;

(3)如图2,过点 P x 轴的平行线 l ,过 M MD l D ,若 MD = 3 MN ,求 N 点的坐标.

来源:2021年湖北省十堰市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + bx + 3 x 轴于 A ( 3 , 0 ) B ( 1 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C ,动点 P 在抛物线的对称轴上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当以 P B C 为顶点的三角形周长最小时,求点 P 的坐标及 ΔPBC 的周长;

(3)若点 Q 是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点 Q ,使得以 A C P Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年内蒙古通辽市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx - 3 x 轴相交于 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,与 y 轴交于点 C ,点 N ( n , 0 ) x 轴上的动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,若 n < 3 ,过点 N x 轴的垂线交抛物线于点 P ,交直线 BC 于点 G .过点 P PD BC 于点 D ,当 n 为何值时, ΔPDG ΔBNG

(3)如图2,将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转,它恰好经过线段 OC 的中点,然后将它向上平移 3 2 个单位长度,得到直线 O B 1

tan BO B 1 =   

②当点 N 关于直线 O B 1 的对称点 N 1 落在抛物线上时,求点 N 的坐标.

来源:2021年湖北省黄冈市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y = x 2 - 1 x 轴于 A B 两点 ( A B 的左边).

(1) ACDE 的顶点 C y 轴的正半轴上,顶点 E y 轴右侧的抛物线上;

①如图(1),若点 C 的坐标是 ( 0 , 3 ) ,点 E 的横坐标是 3 2 ,直接写出点 A D 的坐标.

②如图(2),若点 D 在抛物线上,且 ACDE 的面积是12,求点 E 的坐标.

(2)如图(3), F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点,不平行 y 轴的直线 l 分别交线段 AF BF (不含端点)于 G H 两点.若直线 l 与抛物线只有一个公共点,求证: FG + FH 的值是定值.

来源:2021年湖北省武汉市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-01
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在直角坐标系中,二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象与 x 轴相交于点 A ( - 1 , 0 ) 和点 B ( 3 , 0 ) ,与 y 轴交于点 C

(1)求 b c 的值;

(2)点 P ( m , n ) 为抛物线上的动点,过 P x 轴的垂线交直线 l : y = x 于点 Q

①当 0 < m < 3 时,求当 P 点到直线 l : y = x 的距离最大时 m 的值;

②是否存在 m ,使得以点 O C P Q 为顶点的四边形是菱形,若不存在,请说明理由;若存在,请求出 m 的值.

来源:2021年湖南省娄底市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-21
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + kx + h ( a > 0 )

(1)通过配方可以将其化成顶点式为   ,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在 x   (填上方或下方),即 4 ah k 2   0(填大于或小于)时,该抛物线与 x 轴必有两个交点;

(2)若抛物线上存在两点 A ( x 1 y 1 ) B ( x 2 y 2 ) ,分布在 x 轴的两侧,则抛物线顶点必在 x 轴下方,请你结合 A B 两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设 x 1 < x 2 且都不等于顶点的横坐标;另如果需要借助图象辅助说明,可自己画出简单示意图)

(3)根据二次函数(1)(2)结论,求证:当 a > 0 ( a + c ) ( a + b + c ) < 0 时, ( b c ) 2 > 4 a ( a + b + c )

来源:2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 - 2 x + 1 ( a 0 ) 的对称轴为直线 x = 1

(1)求 a 的值;

(2)若点 M ( x 1 y 1 ) N ( x 2 y 2 ) 都在此抛物线上,且 - 1 < x 1 < 0 1 < x 2 < 2 .比较 y 1 y 2 的大小,并说明理由;

(3)设直线 y = m ( m > 0 ) 与抛物线 y = a x 2 - 2 x + 1 交于点 A B ,与抛物线 y = 3 ( x - 1 ) 2 交于点 C D ,求线段 AB 与线段 CD 的长度之比.

来源:2021年安徽省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-18
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx + c ( a 0 ) x 轴的交点为 A ( 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) ,点 P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) 是抛物线上不同于 A B 的两个点,记△ P 1 AB 的面积为 S 1 ,△ P 2 AB 的面积为 S 2 ,有下列结论:①当 x 1 > x 2 + 2 时, S 1 > S 2 ;②当 x 1 < 2 - x 2 时, S 1 < S 2 ;③当 | x 1 - 2 | > | x 2 - 2 | > 1 时, S 1 > S 2 ;④当 | x 1 - 2 | > | x 2 + 2 | > 1 时, S 1 < S 2 .其中正确结论的个数是 (    )

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

来源:2021年浙江省湖州市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = m x 2 + ( m 2 + 3 ) x - ( 6 m + 9 ) x 轴交于点 A B ,与 y 轴交于点 C ,已知 B ( 3 , 0 )

(1)求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式;

(2) P 为抛物线上一点,若 S ΔPBC = S ΔABC ,请直接写出点 P 的坐标;

(3) Q 为抛物线上一点,若 ACQ = 45 ° ,求点 Q 的坐标.

来源:2021年江苏省连云港市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

设抛物线 y = x 2 + ( a + 1 ) x + a ,其中 a 为实数.

(1)若抛物线经过点 ( - 1 , m ) ,则 m =   

(2)将抛物线 y = x 2 + ( a + 1 ) x + a 向上平移2个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是  

来源:2021年安徽省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-18
  • 题型:未知
  • 难度:未知

我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于 y 轴对称,则把该函数称之为“ T 函数”,其图象上关于 y 轴对称的不同两点叫做一对“ T 点”.根据该约定,完成下列各题.

(1)若点 A ( 1 , r ) 与点 B ( s , 4 ) 是关于 x 的“ T 函数” y = - 4 x ( x < 0 ) t x 2 x 0 , t 0 , t 是常数 的图象上的一对“ T 点”,则 r =    s =    t =   (将正确答案填在相应的横线上);

(2)关于 x 的函数 y = kx + p ( k p 是常数)是“ T 函数”吗?如果是,指出它有多少对“ T 点”如果不是,请说明理由;

(3)若关于 x 的“ T 函数” y = a x 2 + bx + c ( a > 0 ,且 a b c 是常数)经过坐标原点 O ,且与直线 l : y = mx + n ( m 0 n > 0 ,且 m n 是常数)交于 M ( x 1 y 1 ) N ( x 2 y 2 ) 两点,当 x 1 x 2 满足 ( 1 - x 1 ) - 1 + x 2 = 1 时,直线 l 是否总经过某一定点?若经过某一定点,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.

来源:2021年湖南省长沙市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-21
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + c ( a 0 ) 经过点 P ( 3 , 0 ) Q ( 1 , 4 )

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点 A 在直线 PQ 上,过点 A AB x 轴于点 B ,以 AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 ABC

①当 Q A 重合时,求 C 到抛物线对称轴的距离;

②若 C 在抛物线上,求 C 的坐标.

来源:2021年上海市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = x 2 + 2 x + 8 x 轴交于点 A B (点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C

(1)求点 B C 的坐标;

(2)设点 C ' 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称.在 y 轴上是否存在点 P ,使 ΔPCC ' ΔPOB 相似,且 PC PO 是对应边?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年陕西省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-16
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学二次函数的性质试题