高中数学试题

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{ax}-{\left(\ln x\right)}^2$

（1） $a=1$时，求 $f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；

（2） $f\left(x\right)$有 $3$个零点， $x_1,x_2,x_3$且 $\left(x_1<x_2<x_3\right)$.

（i）求 $a$的取值范围；

（ii）证明 $\left(\ln x_2-\ln x_1\right)\cdot \ln x_3<\frac{\text{4e}}{\text{e}-1}$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $\left\{b_n\right\}$是等比数列， $a_1=b_1=2,a_2=b_2+1,a_3=b_3$．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2） $\forall n\in N^{*}$， $I\in \left\{0,1\right\}$，有 $T_n=\left\{p_1{a}_1{b}_1+p_2{a}_2{b}_2+...+p_{n-1}{a}_{n-1}{b}_{n-1}+p_n{a}_n{b}_n|p_1,p_2,...,p_{n-1},p_n\in I\right\}$，

（i）求证：对任意实数 $t\in T_n$，均有 $t<a_{n+1}{b}_{n+1}$;

（ii）求 $T_n$所有元素之和．

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$， $P$为 $x=a$上一点，且直线 $\mathit{PF}$的斜率为 $\frac{1}{3}$， $△\mathit{PFA}$的面积为 $\frac{3}{2}$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 $P$的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于点 $A$），求证： $PF$平分 $\angle \mathit{AFB}$.

正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为 $4$， $E、F$分别为 $A_1{D}_1,C_1{B}_1$中点， $\mathit{CG}=3G{C}_1$．

（1）求证： $\mathit{GF}\perp$平面 $\mathit{FBE}$；

（2）求平面 $\mathit{FBE}$与平面 $\mathit{EBG}$夹角的余弦值；

（3）求三棱锥 $D-\mathit{FBE}$的体积．

在 $△\mathit{ABC}$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$．已知 $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$， $c-2b=1$， $a=\sqrt{7}$．

（1）求 $A$的值；

（2）求 $c$的值；

（3）求 $\sin (A+2B)$的值．

若 $a,b\in R$，对 $\forall x\in [-2,2]$，均有 $(2a+b)x^2+\mathit{bx}-a-1\le 0$恒成立，则 $2a+b$的最小值为_______.

$△\mathit{ABC}$中， $D$为AB边中点， $\overrightarrow{\mathit{CE}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathit{CD}},\overrightarrow{\mathit{AB}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathit{AC}}=\vec{b}$，则 $\overrightarrow{\mathit{AE}}=$______（用 $\vec{a}$， $\vec{b}$表示），若 $\left|\overrightarrow{\mathit{AE}}\right|=5$， $\mathit{AE}\perp \mathit{CB}$，则 $\overrightarrow{\mathit{AE}}\cdot \overrightarrow{\mathit{CD}}=$_______.

小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为 $0.5$，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为 $0.4$，6圈的概率为 $0.6$；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为 $0.6$，6圈的概率为 $0.4$．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为 $X$，则期望 $E\left(x\right)=$_______.

$l_1:x-y+6=0$，与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 ${(x+1)}^2+{(y-3)}^2=r^2$交于 $C$、 $D$两点， $\left|\mathit{AB}\right|=3\left|\mathit{CD}\right|$，则 $r=$_________．

在 ${\left(x-1\right)}^6$的展开式中， $x^3$项的系数为________．

已知 $i$是虚数单位，则 $\left|\frac{\text{3+i}}{\text{i}}\right|\text{=}$ ________．

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，以右焦点 $F_2$为焦点的抛物线 $y^2=2\mathit{px}(p>0)$与双曲线交于第一象限的点P，若 $\left|P{F}_1\right|+\left|P{F}_2\right|=3\left|F_1{F}_2\right|$，则双曲线的离心率 $e=$（ ）

A．

$2$

B．

$5$

C．

$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$f\left(x\right)=\sin (\mathit{\omega x}+\phi )(\omega >0,-\pi <\phi <\pi )$，在 $\left[-\frac{\text{5}\pi }{12},\frac{\pi }{12}\right]$上单调递增，且 $x=\frac{\pi }{\text{12}}$为它的一条对称轴， $\left(\frac{\pi }{\text{3}},0\right)$是它的一个对称中心，当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$时， $f\left(x\right)$的最小值为（ ）

A．

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$1$

D．

$0$

函数 $f\left(x\right)={0.3}^x-\sqrt{x}$的零点所在区间是（ ）

A．

$(0,0.3)$

B．

$(0.3,0.5)$

C．

$(0.5,1)$

D．

$(1,2)$

$S_n=-n^2+8n$，则数列 $\left\{\left|a_n\right|\right\}$的前 $12$项和为（ ）

A．

$112$

B．

$48$

C．

$80$

D．

$64$