高中数学试题

已知椭圆 $C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A\left(-2,0\right)$在 $C$上．

（1）求 $C$的方程；

（2）过点 $\left(-2,3\right)$的直线交 $C$于点 $P$， $Q$两点，直线 $AP$， $AQ$与 $y$轴的交点分别为 $M$， $N$，证明：线段 $MN$的中点为定点．

如图，在三棱锥 $P-ABC$中， $AB\perp BC$， $AB=2$， $BC=2\sqrt{2}$， $PB=PC=\sqrt{6}$， $AD=\sqrt{5}DO$， $BP$， $AP$， $BC$的中点分别为 $D$， $E$， $O$，点 $F$在 $AC$上， $BF\perp AO$．

（1）证明： $EF\parallel$平面 $ADO$；

（2）证明：平面 $ADO\perp$平面 $BEF$；

（3）求二面角 $D-AO-C$的正弦值．

在 $△ABC$中，已知 $\angle BAC=120°$， $AB=2$， $AC=1$．

（1）求 $\sin \angle ABC$；

（2）若 $D$为 $BC$上一点．且 $\angle BAD=90°$，求 $△ADC$的面积．

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 $10$次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i$， $y_i\left(i=1,2,...10\right)$．试验结果如下：

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_i$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_i$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记 $z_i=x_i-y_i\left(i=1,2,...10\right)$，记 $z_1,z_2,...z_{10}$的样本平均数为 $\overline{z}$，样本方差为 $s^2$．

（1）求 $\overline{z}$， $s^2$；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果 $\overline{z}\ge 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

设 $a\in \left(0,1\right)$，若函数 $f\left(x\right)=a^x+{\left(1+a\right)}^x$在 $\left(0,+\infty \right)$上单调递增，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿．

已知 $\left\{a_n\right\}$为等比数列， $a_2{a}_4{a}_5=a_3{a}_6$， $a_9{a}_{10}=-8$，则 $a_7=$＿＿＿＿＿．

若 $x$， $y$满足约束条件 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-3y\le -1 \\ x+2y\le 9 \\ 3x+y\ge 7\\ \end{array}\right. \end{gathered}$$，则 $z=2x-y$的最大值为＿＿＿＿＿．

已知点 $A\left(1,\sqrt{5}\right)$在抛物线C: $y^2=2px$上，则 $A$到 $C$的准线的距离为＿＿＿＿＿．

已知 $\odot O$的半径为 $1$，直线 $PA$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $PB$与 $\odot O$交于 $B$， $C$两点， $D$为 $BC$的中点，若 $\left|PO\right|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PD}$的最大值为（ ）

A．

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

C．

$1+\sqrt{2}$

D．

$2+\sqrt{2}$

设 $A$， $B$为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段 $AB$中点的是（ ）

A．

$\left(1,1\right)$

B．

$\left(-1,2\right)$

C．

$\left(1,3\right)$

D．

$\left(-1,-4\right)$

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$，集合 $S=\left\{\overline{)\cos a_n}n\in N^{*}\right\}$，若 $S=\left\{a,b\right\}$，则 $ab=$（ ）

A．

$-1$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$0$

D．

$\frac{1}{2}$

已知 $△ABC$为等腰直角三角形， $AB$为斜边， $△ABD$为等边三角形，若二面角 $C-AB-D$为 $150°$，则直线 $CD$与平面 $ABC$所成角的正切值为（ ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{5}$

D．

$\frac{2}{5}$

已知圆锥 $PO$的底面半径为 $\sqrt{3}$， $O$为底面圆心， $PA$， $PB$为圆锥的母线， $\angle AOB=120°$，若 $△PAB$的面积等于 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的体积为（ ）

A．

$\mathrm{\pi }$

B．

$\sqrt{6}\mathrm{\pi }$

C．

$3\mathrm{\pi }$

D．

$3\sqrt{6}\mathrm{\pi }$

甲乙两位同学从 $6$种课外读物中各自选读 $2$种，则这两人选读的课外读物中恰有 $1$种相同的选法共有（ ）

A．

$30$种

B．

$60$种

C．

$120$种

D．

$240$种

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)$在区间 $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$单调递增，直线 $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$和 $x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$为函数 $y=f\left(x\right)$的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=$　（ ）

A．

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$