已知 $\odot O$的半径为 $1$，直线 $PA$与 $\odot O$相切于点 $A$，直线 $PB$与 $\odot O$交于 $B$， $C$两点， $D$为 $BC$的中点，若 $\left|PO\right|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PD}$的最大值为（ ）

A．

$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

C．

$1+\sqrt{2}$

D．

$2+\sqrt{2}$