2021年全国统一高考数学试卷（全国甲卷理科数学试卷）

设集合 $M=\left\{x\left|0<x<4\right.\right\},N=\left\{x\left|\frac{1}{3}\le x\le 5\right.\right\}$ ，则 $M\cap N=$ （    ）

为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

已知 $(1-i{)}^{2}z=3+2i$ ，则 $z=$ （    ）

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录表的数据 V的满足 $L=5+\mathit{lg}V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（ $\sqrt[10]{10}\approx 1.259$ ）

已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 C的两个焦点， P为 C上一点，且 $\angle F_{1}P{F}_2=60°,\left|P{F}_1\right|=3\left|P{F}_2\right|$ ，则 C的离心率为（    ）

在一个正方体中，过顶点 A的三条棱的中点分别为 E， F， G．该正方体截去三棱锥 $A-\mathit{EFG}$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 q，前 n项和为 $S_n$ ，设甲： $q>0$ ，乙： $\left\{S_n\right\}$ 是递增数列，则（    ）

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A， B， C三点，且 A， B， C在同一水平面上的投影 $A^{\text{'}},B^{\text{'}},C^{\text{'}}$ 满足 $\angle A\text{'}C\text{'}B\text{'}=45°$ ， $\angle A\text{'}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=60°$ ．由 C点测得 B点的仰角为 $15°$ ， $B{B}^{\text{'}}$ 与 $C{C}^{\text{'}}$ 的差为100；由 B点测得 A点的仰角为 $45°$ ，则 A， C两点到水平面 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 的高度差 $A{A}^{\text{'}}-C{C}^{\text{'}}$ 约为（ $\sqrt{3}\approx 1.732$ ）（    ）

若 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\mathit{tan}2\alpha =\frac{\mathit{cos}\alpha }{2-\mathit{sin}\alpha }$ ，则 $\mathit{tan}\alpha =$ （    ）

将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

已如 A， B， C是半径为1的球 O的球面上的三个点，且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC},\mathit{AC}=\mathit{BC}=1$ ，则三棱锥 $O-\mathit{ABC}$ 的体积为（    ）

设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 R， $f\left(x+1\right)$ 为奇函数， $f\left(x+2\right)$ 为偶函数，当 $x\in \left[1,2\right]$ 时， $f\left(x\right)=a{x}^2+b$ ．若 $f\left(0\right)+f\left(3\right)=6$ ，则 $f\left(\frac{9}{2}\right)=$ （    ）

曲线 $y=\frac{2x-1}{x+2}$在点 $\left(-1,-3\right)$处的切线方程为__________．

已知向量 $\vec{a}=\left(3,1\right),\vec{b}=\left(1,0\right),\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}$．若 $\vec{a}\perp \vec{c}$，则 $k=$________．

已知 $F_1,F_2$为椭圆C： $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $\left|\mathit{PQ}\right|=\left|F_1{F}_2\right|$，则四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$的面积为________．

已知函数 $f\left(x\right)=2\mathit{cos}(\mathit{\omega x}+\phi )$的部分图像如图所示，则满足条件 $\left(f\left(x\right)-f\left(-\frac{7\pi }{4}\right)\right)\left(f\left(x\right)-f\left(\frac{4\pi }{3}\right)\right)>0$的最小正整数x为________．

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的各项均为正数，记 $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列 $\left\{a_n\right\}$是等差数列：②数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$是等差数列；③ $a_2=3a_1$．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

已知直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$中，侧面为正方形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2$，E，F分别为 $\mathit{AC}$和 $C{C}_1$的中点，D为棱 $A_1{B}_1$上的点． $\mathit{BF}\perp A_1{B}_1$

（1）证明： $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$；

（2）当 $B_{1}D$为何值时，面 $B{B}_1{C}_{1}C$与面 $\mathit{DFE}$所成的二面角的正弦值最小?

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： $x=1$交C于P，Q两点，且 $\mathit{OP}\perp \mathit{OQ}$．已知点 $M\left(2,0\right)$，且 $\odot M$与l相切．

（1）求C， $\odot M$的方程；

（2）设 $A_1,A_2,A_3$是C上的三个点，直线 $A_1{A}_2$， $A_1{A}_3$均与 $\odot M$相切．判断直线 $A_2{A}_3$与 $\odot M$的位置关系，并说明理由．

已知 $a>0$ 且 $a\ne 1$ ，函数 $f\left(x\right)=\frac{x^a}{a^x}(x>0)$ ．

（1）当 $a=2$ 时，求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（2）若曲线 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点，求 a的取值范围．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{2}\mathit{cos}\theta$．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为 $\left(1,0\right)$，M为C上的动点，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{AP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{AM}}$，写出Р的轨迹 $C_1$的参数方程，并判断C与 $C_1$是否有公共点．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-2\right|,g\left(x\right)=\left|2x+3\right|-\left|2x-1\right|$．

（1）画出和 $y=g\left(x\right)$的图像；

（2）若 $f\left(x+a\right)\ge g\left(x\right)$，求a的取值范围．