高中数学试题

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，设甲： $\left\{a_n\right\}$为等差数列；乙： $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$为等差数列，则（ ）

A．	甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．	甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．	甲是乙的充要条件
D．	甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

过点 $\left(0,-2\right)$与圆 $x^2+y^2-4x-1=0$相切的两条直线的夹角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =$　　（ ）

A．

$1$

B．

$\frac{\sqrt{15}}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

设椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(a>1\right)$， $C_2:\frac{x^2}{4}+y^2=1$的离心率分别为 $e_1$， $e_2$．若 $e_2=\sqrt{3}{e}_1$，则 $a=$（ ）

A．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

$\sqrt{6}$

设函数 $f\left(x\right)=2^{x\left(x-2\right)}$在区间 $\left(0,1\right)$单调递减，则 $a$的取值范围是（ ）

A．

$(-\infty ,-2]$

B．

$[-2,0)$

C．

$(0,2]$

D．

$[2,+\infty )$

已知向量 $\overrightarrow{a}=\left(1,1\right)$， $\overrightarrow{b}=\left(1,-1\right)$．若 $\left(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}\right)\perp \left(\overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}\right)$，则（ ）

A．

$\lambda +\mu =1$

B．

$\lambda +\mu =-1$

C．

$\lambda \mu =1$

D．

$\lambda \mu =-1$

已知 $z=\frac{1-i}{2+2i}$，则 $z-\overline{z}=$　（ ）

A．

$-i$

B．

$i$

C．

$0$

D．

$1$

已知集合 $M=\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$， $N=\left\{\overline{)x}{x}^2-x-6\ge 0\right\}$，则 $M\cap N=$　（ ）

A．

$\left\{-2,-1,0,1\right\}$

B．

$\left\{0,1,2\right\}$

C．

$\left\{-2\right\}$

D．

$\left\{2\right\}$

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f\left(x\right)=2\left|x\right|+\left|x-2\right|$．

（1）求不等式 $f\left(x\right)\le 6-x$的解集；

（2）在直角坐标系 $xOy$中，求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le y\\ x+y-6\le 0\end{array}\right.$所确定的平面区域的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$中，以坐标原点 $O$为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le \theta \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$，曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}\right.$（ $\alpha$为参数， $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$）．

（1）写出 $C_1$的直角坐标方程；

（2）若直线 $y=x+m$既与 $C_1$没有公共点，也与 $C_2$没有公共点、求 $m$的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}+a\right)\ln \left(1+x\right)$．

（1）当 $a=-1$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；

（2）是否存在 $a$， $b$，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$关于直线 $x=b$对称，若存在，求 $a$， $b$的值，若不存在，说明理由；

（3）若 $f\left(x\right)$在 $\left(0,+\infty \right)$存在极值，求 $a$的取值范围．

已知椭圆 $C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A\left(-2,0\right)$在 $C$上．

（1）求 $C$的方程；

（2）过点 $\left(-2,3\right)$的直线交 $C$于点 $P$， $Q$两点，直线 $AP$， $AQ$与 $y$轴的交点分别为 $M$， $N$，证明：线段 $MN$的中点为定点．

如图，在三棱锥 $P-ABC$中， $AB\perp BC$， $AB=2$， $BC=2\sqrt{2}$， $PB=PC=\sqrt{6}$， $AD=\sqrt{5}DO$， $BP$， $AP$， $BC$的中点分别为 $D$， $E$， $O$，点 $F$在 $AC$上， $BF\perp AO$．

（1）证明： $EF\parallel$平面 $ADO$；

（2）证明：平面 $ADO\perp$平面 $BEF$；

（3）求二面角 $D-AO-C$的正弦值．

在 $△ABC$中，已知 $\angle BAC=120°$， $AB=2$， $AC=1$．

（1）求 $\sin \angle ABC$；

（2）若 $D$为 $BC$上一点．且 $\angle BAD=90°$，求 $△ADC$的面积．

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 $10$次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i$， $y_i\left(i=1,2,...10\right)$．试验结果如下：

试验序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_i$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_i$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记 $z_i=x_i-y_i\left(i=1,2,...10\right)$，记 $z_1,z_2,...z_{10}$的样本平均数为 $\overline{z}$，样本方差为 $s^2$．

（1）求 $\overline{z}$， $s^2$；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果 $\overline{z}\ge 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

设 $a\in \left(0,1\right)$，若函数 $f\left(x\right)=a^x+{\left(1+a\right)}^x$在 $\left(0,+\infty \right)$上单调递增，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿．