高中数学解答题

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{ax}-{\left(\ln x\right)}^2$

（1） $a=1$时，求 $f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；

（2） $f\left(x\right)$有 $3$个零点， $x_1,x_2,x_3$且 $\left(x_1<x_2<x_3\right)$.

（i）求 $a$的取值范围；

（ii）证明 $\left(\ln x_2-\ln x_1\right)\cdot \ln x_3<\frac{\text{4e}}{\text{e}-1}$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $\left\{b_n\right\}$是等比数列， $a_1=b_1=2,a_2=b_2+1,a_3=b_3$．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2） $\forall n\in N^{*}$， $I\in \left\{0,1\right\}$，有 $T_n=\left\{p_1{a}_1{b}_1+p_2{a}_2{b}_2+...+p_{n-1}{a}_{n-1}{b}_{n-1}+p_n{a}_n{b}_n|p_1,p_2,...,p_{n-1},p_n\in I\right\}$，

（i）求证：对任意实数 $t\in T_n$，均有 $t<a_{n+1}{b}_{n+1}$;

（ii）求 $T_n$所有元素之和．

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$， $P$为 $x=a$上一点，且直线 $\mathit{PF}$的斜率为 $\frac{1}{3}$， $△\mathit{PFA}$的面积为 $\frac{3}{2}$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 $P$的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于点 $A$），求证： $PF$平分 $\angle \mathit{AFB}$.

正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的棱长为 $4$， $E、F$分别为 $A_1{D}_1,C_1{B}_1$中点， $\mathit{CG}=3G{C}_1$．

（1）求证： $\mathit{GF}\perp$平面 $\mathit{FBE}$；

（2）求平面 $\mathit{FBE}$与平面 $\mathit{EBG}$夹角的余弦值；

（3）求三棱锥 $D-\mathit{FBE}$的体积．

在 $△\mathit{ABC}$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$．已知 $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$， $c-2b=1$， $a=\sqrt{7}$．

（1）求 $A$的值；

（2）求 $c$的值；

（3）求 $\sin (A+2B)$的值．

在直角坐标系 $xOy$中，点 $P$到 $x$轴的距离等于点 $P$到点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$的距离，记动点 $P$的轨迹为 $W$．

（1）求 $W$的方程；

（2）已知矩形 $ABCD$有三个顶点在 $W$上，证明：矩形 $ABCD$的周长大于 $3\sqrt{3}$．

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$．由抽签确定第 $1$次投篮的人选，第 $1$次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$．

（1）求第 $2$次投篮的人是乙的概率；

（2）求第 $i$次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量 $X_i$服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i$， $i=1,2,...,n$则 $E\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum X_i}}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum q_i}}$．记前 $n$次（即从第 $1$次到第 $n$次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$，求 $E\left(Y\right)$．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $d$，且 $d>1$．令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$，记 $S_n$， $T_n$分别为数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和．

（1）若 $3a_2=3a_1+a_3$， $S_3+T_3=21$，求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）若 $\left\{b_n\right\}$为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$，求 $d$．

已知函数 $f\left(x\right)=a\left(e^x+a\right)-x$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）证明：当 $a>0$时， $f\left(x\right)>2\ln a+\frac{3}{2}$．

如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $AB=2$， $A{A}_1=4$．点 $A_2$， $B_2$， $C_2$， $D_2$分别在棱 $A{A}_1$， $B{B}_1$， $C{C}_1$， $D{D}_1$上， $A{A}_2=1$， $B{B}_2=D{D}_2=2$， $C{C}_2=3$．

（1）证明： $B_2{C}_2\parallel A_2{D}_2$；

（2）点 $P$在棱 $B{B}_1$上，当二面角 $P-A_2{C}_2-D_2$为 $150°$时，求 $B_{2}P$．

已知在 $△ABC$中， $A+B=3C$， $2\sin \left(A-C\right)=\sin B$．

（1）求 $\sin A$；

（2）设 $AB=5$，求 $AB$边上的高．

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f\left(x\right)=2\left|x\right|+\left|x-2\right|$．

（1）求不等式 $f\left(x\right)\le 6-x$的解集；

（2）在直角坐标系 $xOy$中，求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le y\\ x+y-6\le 0\end{array}\right.$所确定的平面区域的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$中，以坐标原点 $O$为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le \theta \le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$，曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}\right.$（ $\alpha$为参数， $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$）．

（1）写出 $C_1$的直角坐标方程；

（2）若直线 $y=x+m$既与 $C_1$没有公共点，也与 $C_2$没有公共点、求 $m$的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}+a\right)\ln \left(1+x\right)$．

（1）当 $a=-1$时，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$处的切线方程；

（2）是否存在 $a$， $b$，使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$关于直线 $x=b$对称，若存在，求 $a$， $b$的值，若不存在，说明理由；

（3）若 $f\left(x\right)$在 $\left(0,+\infty \right)$存在极值，求 $a$的取值范围．

已知椭圆 $C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$，点 $A\left(-2,0\right)$在 $C$上．

（1）求 $C$的方程；

（2）过点 $\left(-2,3\right)$的直线交 $C$于点 $P$， $Q$两点，直线 $AP$， $AQ$与 $y$轴的交点分别为 $M$， $N$，证明：线段 $MN$的中点为定点．