已知函数 f x = 1 x + a ln 1 + x .
(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f x 在点 1 , f 1 处的切线方程;
(2)是否存在 a , b ,使得曲线 y=f 1 x 关于直线 x=b 对称,若存在,求 a , b 的值,若不存在,说明理由;
(3)若 f x 在 0 , + ∞ 存在极值,求 a 的取值范围.
(本小题满分14分)已知f (x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).设f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)若bn=an f (an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=3时,求Sn;(3)若cn= f(an) lg f (an),问是否存在m,使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,D是AB的中点.(1)求动点D的轨迹C的方程;(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,①当|PQ|=3时,求直线l的方程;②设点E(m,0)是x轴上一点,求当·恒为定值时E点的坐标及定值.
(本小题满分12分)已知是边长为1的正方体,求:⑴直线与平面所成角的正切值;⑵二面角的大小;⑶求点到平面的距离。
(本小题满分12分)已知f (x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数的最小值;(2)当x2的系数取得最小值时,求f (x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.解: (1)由已知+2=11,∴m+2n=11,x2的系数为+22=+2n(n-1)=+(11-m)(-1)=(m-)2+.∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,∴f (x)=(1+x)5+(1+2x)3.设这时f (x)的展开式为f (x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
(本小题满分12分)某校高二年级有500名学生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
(1)根据上面图表,①②③④处的数值分别为________、________、________、________;(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图;(3)根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在[129,155]中的频率.