已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{ax}-{\left(\ln x\right)}^2$

（1） $a=1$时，求 $f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程；

（2） $f\left(x\right)$有 $3$个零点， $x_1,x_2,x_3$且 $\left(x_1<x_2<x_3\right)$.

（i）求 $a$的取值范围；

（ii）证明 $\left(\ln x_2-\ln x_1\right)\cdot \ln x_3<\frac{\text{4e}}{\text{e}-1}$．