已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$， $P$为 $x=a$上一点，且直线 $\mathit{PF}$的斜率为 $\frac{1}{3}$， $△\mathit{PFA}$的面积为 $\frac{3}{2}$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 $P$的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于点 $A$），求证： $PF$平分 $\angle \mathit{AFB}$.