已知抛物线yax2bx5与x轴交于点A(1,0)和B(5,0

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和 $B (- 5, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $P$ ，点 $N$ 在抛物线对称轴上且位于 $x$ 轴下方，连 $AN$ 交抛物线于 $M$ ，连 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan ∠ ACM = 2$ 时，求 $M$ 点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线 $l$ ，过 $M$ 作 $MD ⊥ l$ 于 $D$ ，若 $MD = \sqrt{3} MN$ ，求 $N$ 点的坐标．

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如图，在 $△ ABC$ 中， $BAC = 90^{\circ}, AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为直角边 $AC$ 的中点，过点 $D, E$ 作直线交 $AB$ 的延长线于点 $F$ .求证: $\frac{AB}{AC} = \frac{DF}{AF}$ .

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如图，等边 $△ ABC$ 中， $D, E$ 分别在 $BC, AC$ 上，且 $BD = CE, AD, BE$ 交于点 $F, EG / / CF$ 交于点 $G$ ，求证: $BF = DG$ .

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如图所示，点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上一点，连接 $DE$ ，过顶点 $B$ 作 $BF ⊥ DE$ ，垂足为 $F, BF$ 交边 $DC$ 于点 $G$ .

（1）求证: $GD \cdot AB = DF \cdot BG;$

（2）连接 $CF$ ，求证: $∠ CFB = 45^{\circ}$ .

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如图抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 有公共点 $A, B$ ,已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ,点 $B$ 在第三象限内,且 $△ AOB$ 的面积为 $3$ （ $O$ 为坐标原点）.

（1）求实数 $a, b, k$ 的值;

（2）过抛物线上点 $A$ 作直线 $AC / / x$ 轴,交拋物线于另一点 $C$ ,求所有满足 $△ EOC \sim △ AOB$ 的点 $E$ 的坐标.

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