已知二次函数 的图象开口向上,且经过点 , .
(1)求 的值(用含 的代数式表示);
(2)若二次函数 在 时, 的最大值为1,求 的值;
(3)将线段 向右平移2个单位得到线段 .若线段 与抛物线 仅有一个交点,求 的取值范围.
如图,抛物线 (其中 与 轴交于 、 两点,交 轴于点 .
(1)写出 的度数和线段 的长(用 表示);
(2)若点 为 的外心,且 与 的周长之比为 ,求此抛物线的解析式;
(3)在(2)的前提下,试探究抛物线 上是否存在一点 ,使得 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知二次函数的图象与 轴交于 和 两点,与 轴交于 ,对称轴为直线 ,直线 经过点 ,且与 轴交于点 ,与抛物线交于点 ,与对称轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式和 的值;
(2)在 轴上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似,若存在,求出点 的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)直线 上有 、 两点 在 的左侧),且 ,若将线段 在直线 上平移,当它移动到某一位置时,四边形 的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).
已知抛物线 经过点 ,当 时, 随 的增大而增大,当 时, 随 的增大而减小.设 是抛物线 与 轴的交点(交点也称公共点)的横坐标, .
(1)求 、 的值;
(2)求证: ;
(3)以下结论: , , ,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,且 , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点 是抛物线上位于直线 上方的一点, 与 相交于点 ,当 时,求点 的坐标;
(3)如图2,点 是抛物线的顶点,将抛物线沿 方向平移,使点 落在点 处,且 ,点 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点, 轴交直线 于点 ,连结 .当 的值最小时,求 的长.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点,其中 A点坐标为(3,0), B点坐标为(﹣1,0),连接 AC、 BC.动点 P从点 A出发,在线段 AC上以每秒 个单位长度向点 C做匀速运动;同时,动点 Q从点 B出发,在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接 PQ,设运动时间为 t秒.
(1)求 b、 c的值.
(2)在 P、 Q运动的过程中,当 t为何值时,四边形 BCPQ的面积最小,最小值为多少?
(3)在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M,使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.
已知抛物线 , 为常数, 经过点 ,顶点为 .
(Ⅰ)当 时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)当 时,点 ,若 ,求该抛物线的解析式;
(Ⅲ)当 时,点 ,过点 作直线 平行于 轴, 是 轴上的动点, 是直线 上的动点.当 为何值时, 的最小值为 ,并求此时点 , 的坐标.
综合与探究
如图,抛物线 与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧),与 轴交于点 ,连接 , .
(1)求 、 , 三点的坐标并直接写出直线 , 的函数表达式.
(2)点 是直线 下方抛物线上的一个动点,过点 作 的平行线 ,交线段 于点 .
①试探究:在直线 上是否存在点 ,使得以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ,与直线 交于点 .当 时,请直接写出 的长.
如图,已知抛物线 与 轴交于点 和 ,与 轴交于点 ,对称轴为直线 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点 是线段 上的一个动点(不与点 , 重合),过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ,连接 ,当线段 长度最大时,判断四边形 的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下, 是 的中点,过点 的直线与抛物线交于点 ,且 .在 轴上是否存在点 ,得 为等腰三角形?若存在,求点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 与两坐标轴分别相交于 , , 三点.
(1)求证: ;
(2)点 是第一象限内该抛物线上的动点,过点 作 轴的垂线交 于点 ,交 轴于点 .
①求 的最大值;
②点 是 的中点,若以点 , , 为顶点的三角形与 相似,求点 的坐标.
如图,抛物线 与 轴交于点 , ,与 轴交于点 ,已知 , 两点坐标分别是 , ,连接 , .
(1)求抛物线的表达式和 所在直线的表达式;
(2)将 沿 所在直线折叠,得到 ,点 的对应点 是否落在抛物线的对称轴上,若点 在对称轴上,请求出点 的坐标;若点 不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点 是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接 交 于点 ,连接 , 的面积记为 , 的面积记为 ,求 的值最大时点 的坐标.
如图,抛物线 经过点 , ,与 轴正半轴交于点 ,且 ,抛物线的顶点为 ,对称轴交 轴于点 .直线 经过 , 两点.
(1)求抛物线及直线 的函数表达式;
(2)点 是抛物线对称轴上一点,当 的值最小时,求出点 的坐标及 的最小值;
(3)连接 ,若点 是抛物线上对称轴右侧一点,点 是直线 上一点,试探究是否存在以点 为直角顶点的 ,且满足 .若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于 点, , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点 ,使四边形 的面积最大,求出点 的坐标;
(3)在(2)的结论下,点 为 轴上一动点,抛物线上是否存在一点 ,使点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出 点的坐标;若不存在,请说明理由.
已知二次函数 .
(1)当该二次函数的图象经过点 时,求该二次函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,二次函数图象与 轴的另一个交点为点 ,与 轴的交点为点 ,点 从点 出发在线段 上以每秒2个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动,直到其中一点到达终点时,两点停止运动,求 面积的最大值;
(3)若对满足 的任意实数 ,都使得 成立,求实数 的取值范围.