初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$经过坐标原点，与 $x$轴正半轴交于点 $A$，点 $M(m,n)$是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$， $n>0$，且 $n=3m$时，

①求点 $M$的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$， $y)$在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{BM}$， $C$是线段 $\mathit{BM}$上一动点（点 $C$与点 $M$， $B$不重合），过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$，交 $x$轴于点 $D$，线段 $\mathit{OD}$与 $\mathit{MC}$是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $K$，点 $E(x,\frac{7}{3})$在对称轴上，当 $m>2$， $n>0$，且直线 $\mathit{EM}$交 $x$轴的负半轴于点 $F$时，过点 $A$作 $x$轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$于点 $N$， $G$为 $y$轴上一点，点 $G$的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$，连接 $\mathit{GF}$．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$，求证：射线 $\mathit{FE}$平分 $\angle \mathit{AFG}$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+4$与两坐标轴分别相交于 $A$， $B$， $C$三点．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=90°$；

（2）点 $D$是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$作 $x$轴的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$．

①求 $\mathit{DE}+\mathit{BF}$的最大值；

②点 $G$是 $\mathit{AC}$的中点，若以点 $C$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOG}$相似，求点 $D$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{kx}+h(a>0)$．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$轴 　　（填上方或下方），即 $4\mathit{ah}-k^2$　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$，分布在 $x$轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$轴下方，请你结合 $A$、 $B$两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_1<x_2$且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a>0$， $(a+c)(a+b+c)<0$时， ${(b-c)}^2>4a(a+b+c)$．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $N(n,0)$是 $x$轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若 $n<3$，过点 $N$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，当 $n$为何值时， $\mathit{\Delta PDG}\cong \mathit{\Delta BNG}$；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BC}$绕点 $B$顺时针旋转，它恰好经过线段 $\mathit{OC}$的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$个单位长度，得到直线 $O{B}_1$．

① $\tan \angle \mathit{BO}{B}_1=$　　；

②当点 $N$关于直线 $O{B}_1$的对称点 $N_1$落在抛物线上时，求点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=3x^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,-2)$ ， $B(2,0)$ ，点 $C$ 为第二象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，其中 $\mathit{AC}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\tan \angle \mathit{OBC}=2$ ．

（1）求点 $C$ 坐标；

（2）点 $P(m,0)$ 为线段 $\mathit{BE}$ 上一动点 $(P$ 不与 $B$ ， $E$ 重合），过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $\mathit{\Delta BMN}$ 沿直线 $\mathit{MN}$ 翻折得到△ $B\text{'}\mathit{MN}$ ，设四边形 $B\text{'}\mathit{NBM}$ 的面积为 $S$ ，在点 $P$ 移动过程中，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若 $S=3S_{\mathit{\Delta ACB}\text{'}}$ ，请写出所有满足条件的 $m$ 值．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象开口向上，且经过点 $A(0,\frac{3}{2})$， $B(2,-\frac{1}{2})$．

（1）求 $b$的值（用含 $a$的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在 $1⩽x⩽3$时， $y$的最大值为1，求 $a$的值；

（3）将线段 $\mathit{AB}$向右平移2个单位得到线段 $A\text{'}B\text{'}$．若线段 $A\text{'}B\text{'}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c+4a-1$仅有一个交点，求 $a$的取值范围．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(n$， $0\left)\right(n⩾-4)$，顶点坐标记为 $(h_1$， $k_1)$．抛物线 $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的顶点坐标记为 $(h_2$， $k_2)$．

（1）写出 $A$点坐标；

（2）求 $k_1$， $k_2$的值（用含 $n$的代数式表示）

（3）当 $-4⩽n⩽4$时，探究 $k_1$与 $k_2$的大小关系；

（4）经过点 $M(2n+9,-5n^2)$和点 $N(2n,9-5n^2)$的直线与抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$， $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的公共点恰好为3个不同点时，求 $n$的值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-4)$．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$在抛物线上且满足 $\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{CBD}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图2， $M$是直线 $\mathit{BC}$上一个动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交抛物线于点 $N$， $Q$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，当 $\mathit{\Delta QMN}$为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$及其对应点 $Q$的坐标．

如图所示，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ， $\mathit{OC}=8$ ，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $x$ 轴交于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以 $P$ 、 $C$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MNB}$ 相似？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3） $D$ 为 $\mathit{CO}$ 的中点，一个动点 $G$ 从 $D$ 点出发，先到达 $x$ 轴上的点 $E$ ，再走到抛物线对称轴上的点 $F$ ，最后返回到点 $C$ ．要使动点 $G$ 走过的路程最短，请找出点 $E$ 、 $F$ 的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点 $Q$ 是抛物线上位于 $x$ 轴上方的一点，点 $R$ 在 $x$ 轴上，是否存在以点 $Q$ 为直角顶点的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{CQR}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$，点 $B(1,0)$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$．直线 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $N$是抛物线上的一点，当 $\mathit{\Delta BDN}$是以 $\mathit{DN}$为腰的等腰三角形时，求点 $N$的坐标；

（3）点 $F$为线段 $\mathit{AE}$上的一点，点 $G$为线段 $\mathit{OA}$上的一点，连接 $\mathit{FG}$，并延长 $\mathit{FG}$与线段 $\mathit{BD}$交于点 $H$（点 $H$在第一象限），当 $\angle \mathit{EFG}=3\angle \mathit{BAE}$且 $\mathit{HG}=2\mathit{FG}$时，求出点 $F$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{3}{2}x+6$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，点 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $Q$是线段 $\mathit{OA}$上一动点（不与点 $O$、 $A$重合）．

（1）请直接写出点 $A$、点 $B$、点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{PQ}$，在第一象限内将 $\mathit{\Delta OPQ}$沿 $\mathit{PQ}$翻折得到 $\mathit{\Delta EPQ}$，点 $O$的对应点为点 $E$．若 $\angle \mathit{OQE}=90°$，求线段 $\mathit{AQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y=a{x}^2-2a^{2}x+a^3+a+1(a\ne 0)$的顶点为点 $C$．

①若点 $C$在 $\mathit{\Delta PQE}$内部（不包括边），求 $a$的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$，使 $|\mathit{CQ}-\mathit{CE}|$最大？若存在，请直接写出点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P(m,n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l:y=x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0<m<3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l:y=x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $A(0,-\frac{7}{4})$ ，点 $B(1,\frac{1}{4})$ ．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当 $-2⩽x⩽2$ 时，求二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的最大值和最小值；

（3）点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}//x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $-2m+1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $\mathit{PQ}$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．

①求 $m$ 的取值范围；

②当 $\mathit{PQ}⩽7$ 时，直接写出线段 $\mathit{PQ}$ 与二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(-2⩽x<\frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

已知二次函数 $y=x^2+2\mathit{bx}-3b$．

（1）当该二次函数的图象经过点 $A(1,0)$时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与 $x$轴的另一个交点为点 $B$，与 $y$轴的交点为点 $C$，点 $P$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AB}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，同时点 $Q$从点 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $\mathit{\Delta BPQ}$面积的最大值；

（3）若对满足 $x⩾1$的任意实数 $x$，都使得 $y⩾0$成立，求实数 $b$的取值范围．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D(0,3)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$ ；

（3） $P$ 为抛物线上的一动点，直线 $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使以 $A$ ， $O$ ， $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$ 相似？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．