初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(0,-1)$ ， $B(4,1)$ ．直线 $\mathit{AB}$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{PE}//x$ 轴，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $\mathit{\Delta PDE}$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，二次函数 $y=(x-1)(x-a)(a$ 为常数）的图象的对称轴为直线 $x=2$ ．

（1）求 $a$ 的值．

（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知二次函数 $y=-x^2+6x-5$ ．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当 $1⩽x⩽4$ 时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当 $t⩽x⩽t+3$ 时，函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m-n=3$ ，求 $t$ 的值．

如图，已知经过原点的抛物线 $y=2x^2+\mathit{mx}$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A(2,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和抛物线顶点 $M$ 的坐标；

（2）求直线 $\mathit{AM}$ 的解析式．

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $(0,-2)$ ，当 $x<-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^4-2r^2+1=60r^2$ ；

（3）以下结论： $m<1$ ， $m=1$ ， $m>1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+3(a\ne 0)$ ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）把抛物线沿 $y$ 轴向下平移 $3\left|a\right|$ 个单位，若抛物线的顶点落在 $x$ 轴上，求 $a$ 的值；

（3）设点 $P(a,y_1)$ ， $Q(2,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1>y_2$ ，求 $a$ 的取值范围．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a$ ， $c$ 为常数， $a\ne 0)$ 经过点 $C(0,-1)$ ，顶点为 $D$ ．

（Ⅰ）当 $a=1$ 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当 $a>0$ 时，点 $E(0,1+a)$ ，若 $\mathit{DE}=2\sqrt{2}\mathit{DC}$ ，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当 $a<-1$ 时，点 $F(0,1-a)$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴， $M(m,0)$ 是 $x$ 轴上的动点， $N(m+3,-1)$ 是直线 $l$ 上的动点．当 $a$ 为何值时， $\mathit{FM}+\mathit{DN}$ 的最小值为 $2\sqrt{10}$ ，并求此时点 $M$ ， $N$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ （其中 $a>1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $\angle \mathit{OCA}$ 的度数和线段 $\mathit{AB}$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外心，且 $\mathit{\Delta BCD}$ 与 $\mathit{\Delta ACO}$ 的周长之比为 $\sqrt{10}:4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{CAP}=\angle \mathit{DBA}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+1(a\ne 0)$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都在此抛物线上，且 $-1<x_1<0$ ， $1<x_2<2$ ．比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y=m(m>0)$ 与抛物线 $y=a{x}^2-2x+1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y=3{(x-1)}^2$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $\mathit{AB}$ 与线段 $\mathit{CD}$ 的长度之比．

抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $B(-1,0)$， $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一点， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $E$，当 $\mathit{PE}:\mathit{BE}=1:2$时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $D$是抛物线的顶点，将抛物线沿 $\mathit{CD}$方向平移，使点 $D$落在点 $D^{\text{'}}$处，且 $D{D}^{\text{'}}=2\mathit{CD}$，点 $M$是平移后所得抛物线上位于 $D^{\text{'}}$左侧的一点， $\mathit{MN}//y$轴交直线 $O{D}^{\text{'}}$于点 $N$，连结 $\mathit{CN}$．当 $\frac{\sqrt{5}}{5}{D}^{\text{'}}N+\mathit{CN}$的值最小时，求 $\mathit{MN}$的长．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与 $x$轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,6)$，抛物线的顶点坐标为 $E(2,8)$，连结 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CE}$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta BCE}$的形状，并说明理由；

（3）如图2，以 $C$为圆心， $\sqrt{2}$为半径作 $\odot C$，在 $\odot C$上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{BP}+\frac{1}{2}\mathit{EP}$的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=x^2+2\mathit{bx}-3b$．

（1）当该二次函数的图象经过点 $A(1,0)$时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与 $x$轴的另一个交点为点 $B$，与 $y$轴的交点为点 $C$，点 $P$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AB}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，同时点 $Q$从点 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $\mathit{\Delta BPQ}$面积的最大值；

（3）若对满足 $x⩾1$的任意实数 $x$，都使得 $y⩾0$成立，求实数 $b$的取值范围．