初中数学二次函数的性质解答题

如图所示，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ， $\mathit{OC}=8$ ，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $x$ 轴交于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以 $P$ 、 $C$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MNB}$ 相似？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3） $D$ 为 $\mathit{CO}$ 的中点，一个动点 $G$ 从 $D$ 点出发，先到达 $x$ 轴上的点 $E$ ，再走到抛物线对称轴上的点 $F$ ，最后返回到点 $C$ ．要使动点 $G$ 走过的路程最短，请找出点 $E$ 、 $F$ 的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点 $Q$ 是抛物线上位于 $x$ 轴上方的一点，点 $R$ 在 $x$ 轴上，是否存在以点 $Q$ 为直角顶点的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{CQR}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点"．例如 $(1,1)$ ， $(2021,2021)\dots$ 都是"雁点"．

（1）求函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线 $y=a{x}^2+5x+c$ 上有且只有一个"雁点" $E$ ，该抛物线与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧）．当 $a>1$ 时．

①求 $c$ 的取值范围；

②求 $\angle \mathit{EMN}$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $P$ 是抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 上一点，连接 $\mathit{BP}$ ，以点 $P$ 为直角顶点，构造等腰 $\text{Rt}\Delta \text{BPC}$ ，是否存在点 $P$ ，使点 $C$ 恰好为"雁点"？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(n$， $0\left)\right(n⩾-4)$，顶点坐标记为 $(h_1$， $k_1)$．抛物线 $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的顶点坐标记为 $(h_2$， $k_2)$．

（1）写出 $A$点坐标；

（2）求 $k_1$， $k_2$的值（用含 $n$的代数式表示）

（3）当 $-4⩽n⩽4$时，探究 $k_1$与 $k_2$的大小关系；

（4）经过点 $M(2n+9,-5n^2)$和点 $N(2n,9-5n^2)$的直线与抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$， $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的公共点恰好为3个不同点时，求 $n$的值．

抛物线 $y=x^2-1$交 $x$轴于 $A$， $B$两点 $(A$在 $B$的左边）．

（1） $▱\mathit{ACDE}$的顶点 $C$在 $y$轴的正半轴上，顶点 $E$在 $y$轴右侧的抛物线上；

①如图（1），若点 $C$的坐标是 $(0,3)$，点 $E$的横坐标是 $\frac{3}{2}$，直接写出点 $A$， $D$的坐标．

②如图（2），若点 $D$在抛物线上，且 $▱\mathit{ACDE}$的面积是12，求点 $E$的坐标．

（2）如图（3）， $F$是原点 $O$关于抛物线顶点的对称点，不平行 $y$轴的直线 $l$分别交线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$（不含端点）于 $G$， $H$两点．若直线 $l$与抛物线只有一个公共点，求证： $\mathit{FG}+\mathit{FH}$的值是定值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-4)$．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$在抛物线上且满足 $\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{CBD}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图2， $M$是直线 $\mathit{BC}$上一个动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交抛物线于点 $N$， $Q$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，当 $\mathit{\Delta QMN}$为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$及其对应点 $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和 $B(-5,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $P$，点 $N$在抛物线对称轴上且位于 $x$轴下方，连 $\mathit{AN}$交抛物线于 $M$，连 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan \angle \mathit{ACM}=2$时，求 $M$点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$作 $x$轴的平行线 $l$，过 $M$作 $\mathit{MD}\perp l$于 $D$，若 $\mathit{MD}=\sqrt{3}\mathit{MN}$，求 $N$点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-3)$，点 $Q$为线段 $\mathit{BC}$上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\left|\mathit{QO}\right|+\left|\mathit{QA}\right|$的最小值；

（3）过点 $Q$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AC}$交抛物线的第四象限部分于点 $P$，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，记 $\mathit{\Delta PAQ}$与 $\mathit{\Delta PBQ}$面积分别为 $S_1$， $S_2$，设 $S=S_1+S_2$，求点 $P$坐标，使得 $S$最大，并求此最大值．

抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{bx}+b(a\ne 0)$与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$，且抛物线的对称轴为 $x=3$， $D$为对称轴与 $x$轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上方且平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $E$、 $F$两点，若 $\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积；

（3）若 $P(3,t)$是对称轴上一定点， $Q$是抛物线上的动点，求 $\mathit{PQ}$的最小值（用含 $t$的代数式表示）．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $N(n,0)$是 $x$轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若 $n<3$，过点 $N$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，当 $n$为何值时， $\mathit{\Delta PDG}\cong \mathit{\Delta BNG}$；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BC}$绕点 $B$顺时针旋转，它恰好经过线段 $\mathit{OC}$的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$个单位长度，得到直线 $O{B}_1$．

① $\tan \angle \mathit{BO}{B}_1=$　　；

②当点 $N$关于直线 $O{B}_1$的对称点 $N_1$落在抛物线上时，求点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，点 $A$， $B$在 $x$轴上，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B$， $D(-4,5)$两点，且与直线 $\mathit{DC}$交于另一点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$为抛物线对称轴上一点， $Q$为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$， $F$， $E$， $B$为顶点的四边形是以 $\mathit{BE}$为边的菱形．若存在，请求出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $P$为 $y$轴上一点，过点 $P$作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$，连接 $\mathit{ME}$， $\mathit{BP}$，探究 $\mathit{EM}+\mathit{MP}+\mathit{PB}$是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{3}{2}x+6$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，点 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $Q$是线段 $\mathit{OA}$上一动点（不与点 $O$、 $A$重合）．

（1）请直接写出点 $A$、点 $B$、点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{PQ}$，在第一象限内将 $\mathit{\Delta OPQ}$沿 $\mathit{PQ}$翻折得到 $\mathit{\Delta EPQ}$，点 $O$的对应点为点 $E$．若 $\angle \mathit{OQE}=90°$，求线段 $\mathit{AQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y=a{x}^2-2a^{2}x+a^3+a+1(a\ne 0)$的顶点为点 $C$．

①若点 $C$在 $\mathit{\Delta PQE}$内部（不包括边），求 $a$的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$，使 $|\mathit{CQ}-\mathit{CE}|$最大？若存在，请直接写出点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$，点 $B(1,0)$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$．直线 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $N$是抛物线上的一点，当 $\mathit{\Delta BDN}$是以 $\mathit{DN}$为腰的等腰三角形时，求点 $N$的坐标；

（3）点 $F$为线段 $\mathit{AE}$上的一点，点 $G$为线段 $\mathit{OA}$上的一点，连接 $\mathit{FG}$，并延长 $\mathit{FG}$与线段 $\mathit{BD}$交于点 $H$（点 $H$在第一象限），当 $\angle \mathit{EFG}=3\angle \mathit{BAE}$且 $\mathit{HG}=2\mathit{FG}$时，求出点 $F$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P$、 $Q$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似，请直接写出点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于原点 $O$和点 $A$，且其顶点 $B$关于 $x$轴的对称点坐标为 $(2,1)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$，使得抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上的任意一点 $G$到定点 $F$的距离与点 $G$到直线 $y=-2$的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$的坐标；

②过点 $F$的直线 $l$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $M$， $N$两点．

证明：当直线 $l$绕点 $F$旋转时， $\frac{1}{\mathit{MF}}+\frac{1}{\mathit{NF}}$是定值，并求出该定值；

（3）点 $C(3,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQBC}$周长最小，直接写出 $P$， $Q$的坐标．