如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 为正方形，点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $B$ ， $D (- 4, 5)$ 两点，且与直线 $DC$ 交于另一点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$ 为抛物线对称轴上一点， $Q$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$ ， $F$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是以 $BE$ 为边的菱形．若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $ME$ ， $BP$ ，探究 $EM + MP + PB$ 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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甲、乙两辆货车分别从 $A$ 、 $B$ 两城同时沿高速公路向 $C$ 城运送货物．已知 $A$ 、 $C$ 两城相距450千米， $B$ 、 $C$ 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米 $/$ 小时，甲车比乙车早半小时到达 $C$ 城．求两车的速度．

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某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．

（1）求三个年级获奖总人数；

（2）请补全扇形统计图的数据；

（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占 $\frac{1}{4}$ ，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．

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如图， $AB = AD$ ， $AC = AE$ ， $∠ BAE = ∠ DAC$ ．求证： $∠ C = ∠ E$ ．

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（1）计算： ${(2019 - \sqrt{2})}^{0} - 2^{- 1} + | - 1 | + \sin^{2} 45 °$

（2）化简： $\frac{2 xy}{x^{2} - y^{2}} \div (\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y})$

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已知二次函数 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 的图象过点 $(2, - 1)$ ，点 $P (P$ 与 $O$ 不重合）是图象上的一点，直线 $l$ 过点 $(0, 1)$ 且平行于 $x$ 轴． $PM ⊥ l$ 于点 $M$ ，点 $F (0, - 1)$ ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点 $P$ 在线段 $MF$ 的中垂线上；

（3）设直线 $PF$ 交二次函数的图象于另一点 $Q$ ， $QN ⊥ l$ 于点 $N$ ，线段 $MF$ 的中垂线交 $l$ 于点 $R$ ，求 $\frac{MR}{RN}$ 的值；

（4）试判断点 $R$ 与以线段 $PQ$ 为直径的圆的位置关系．

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