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  • 更新 2022-09-04
  • 科目 数学
  • 题型 解答题
  • 难度 困难
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如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴交于原点 O 和点 A ,且其顶点 B 关于 x 轴的对称点坐标为 ( 2 , 1 )

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴上存在定点 F ,使得抛物线 y = a x 2 + bx + c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y = - 2 的距离总相等.

①证明上述结论并求出点 F 的坐标;

②过点 F 的直线 l 与抛物线 y = a x 2 + bx + c 交于 M N 两点.

证明:当直线 l 绕点 F 旋转时, 1 MF + 1 NF 是定值,并求出该定值;

(3)点 C ( 3 , m ) 是该抛物线上的一点,在 x 轴, y 轴上分别找点 P Q ,使四边形 PQBC 周长最小,直接写出 P Q 的坐标.

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如图,抛物线yax2bxc与x轴交于原点O和点A,且其顶点B