初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于原点 $O$和点 $A$，且其顶点 $B$关于 $x$轴的对称点坐标为 $(2,1)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$，使得抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上的任意一点 $G$到定点 $F$的距离与点 $G$到直线 $y=-2$的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$的坐标；

②过点 $F$的直线 $l$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $M$， $N$两点．

证明：当直线 $l$绕点 $F$旋转时， $\frac{1}{\mathit{MF}}+\frac{1}{\mathit{NF}}$是定值，并求出该定值；

（3）点 $C(3,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQBC}$周长最小，直接写出 $P$， $Q$的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m(m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m=\frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是 　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是 　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $\mathit{OA}=\sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x⩽2m$ 时，若函数 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P(4,2)$ 、 $Q(4,2-2m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 与四边形 $\mathit{PQNM}$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．

抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{bx}+b(a\ne 0)$与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$，且抛物线的对称轴为 $x=3$， $D$为对称轴与 $x$轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上方且平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $E$、 $F$两点，若 $\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积；

（3）若 $P(3,t)$是对称轴上一定点， $Q$是抛物线上的动点，求 $\mathit{PQ}$的最小值（用含 $t$的代数式表示）．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(-2,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=2\mathit{OA}$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y=\mathit{mx}+n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $\mathit{BC}$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的最小值；

（3）连接 $\mathit{AC}$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{PEQ}$ ，且满足 $\tan \angle \mathit{EQP}=\tan \angle \mathit{OCA}$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2﹣2x+c（a\ne 0）$与x轴交于 $A、B（3，0）$两点，与y轴交于点 $C（0\mathit{，﹣}3）$，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与 $△\mathit{BCD}$相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-3)$，点 $Q$为线段 $\mathit{BC}$上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\left|\mathit{QO}\right|+\left|\mathit{QA}\right|$的最小值；

（3）过点 $Q$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AC}$交抛物线的第四象限部分于点 $P$，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，记 $\mathit{\Delta PAQ}$与 $\mathit{\Delta PBQ}$面积分别为 $S_1$， $S_2$，设 $S=S_1+S_2$，求点 $P$坐标，使得 $S$最大，并求此最大值．

如图，在直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P(m,n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l:y=x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0<m<3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l:y=x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．

已知二次函数 $y=x^2+2\mathit{bx}-3b$．

（1）当该二次函数的图象经过点 $A(1,0)$时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与 $x$轴的另一个交点为点 $B$，与 $y$轴的交点为点 $C$，点 $P$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AB}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，同时点 $Q$从点 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $\mathit{\Delta BPQ}$面积的最大值；

（3）若对满足 $x⩾1$的任意实数 $x$，都使得 $y⩾0$成立，求实数 $b$的取值范围．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+3(a\ne 0)$ ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）把抛物线沿 $y$ 轴向下平移 $3\left|a\right|$ 个单位，若抛物线的顶点落在 $x$ 轴上，求 $a$ 的值；

（3）设点 $P(a,y_1)$ ， $Q(2,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1>y_2$ ，求 $a$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$ 、 $B(1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ，直线 $m//\mathit{AC}$ ，点 $E$ 是直线 $\mathit{AC}$ 上方抛物线上一动点，过点 $E$ 作 $\mathit{EH}\perp m$ ，垂足为 $H$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{EC}$ 、 $\mathit{CH}$ 、 $\mathit{AH}$ ．

（1）抛物线的解析式为 　　；

（2）当四边形 $\mathit{AHCE}$ 面积最大时，求点 $E$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $\mathit{EF}$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得以 $F$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点，以 $\mathit{EF}$ 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的图象交 $x$轴于原点 $O$及点 $A$．

感知特例

（1）当 $m=1$时，如图1，抛物线 $L:y=x^2-2x$上的点 $B$， $O$， $C$， $A$， $D$分别关于点 $A$中心对称的点为 $B\text{'}$， $O\text{'}$， $C\text{'}$， $A\text{'}$， $D\text{'}$，如表：

$\dots$	$B(-1,3)$	$O(0,0)$	$C(1,-1)$	$A($　　，　　 $)$	$D(3,3)$	$\dots$
$\dots$	$B^{\text{'}}(5,-3)$	$O\text{'}(4,0)$	$C^{\text{'}}(3,1)$	$A\text{'}(2,0)$	$D^{\text{'}}(1,-3)$	$\dots$

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 $L^{\text{'}}$．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象 $L^{\text{'}}$上的点和抛物线 $L$上的点关于点 $A$中心对称，则称 $L^{\text{'}}$是 $L$的“孔像抛物线”．例如，当 $m=-2$时，图2中的抛物线 $L^{\text{'}}$是抛物线 $L$的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当 $m=-1$时，若抛物线 $L$与它的“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$的函数值都随着 $x$的增大而减小，则 $x$的取值范围为 　　；

②在同一平面直角坐标系中，当 $m$取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的所有“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　　（填“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$”或“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}$”或“ $y=a{x}^2+c$”或“ $y=a{x}^2$”，其中 $\mathit{abc}\ne 0)$；

③若二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$及它的“孔像抛物线”与直线 $y=m$有且只有三个交点，求 $m$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{OB}$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似时，求线段 $\mathit{EF}$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，求点 $N$ 的坐标．