初中数学二次函数的性质解答题

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $(-2,1)$， $(2,-3)$两点．

（1）求 $b$的值；

（2）当 $c>-1$时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．

（3）设 $(m,0)$是该函数的图象与 $x$轴的一个公共点．当 $-1<m<3$时，结合函数的图象，直接写出 $a$的取值范围．

已知点 $A(1,0)$是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+m(a$， $b$， $m$为常数， $a\ne 0$， $m<0)$与 $x$轴的一个交点．

（Ⅰ）当 $a=1$， $m=-3$时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $M(m,0)$，与 $y$轴的交点为 $C$，过点 $C$作直线 $l$平行于 $x$轴， $E$是直线 $l$上的动点， $F$是 $y$轴上的动点， $\mathit{EF}=2\sqrt{2}$．

①当点 $E$落在抛物线上（不与点 $C$重合），且 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$时，求点 $F$的坐标；

②取 $\mathit{EF}$的中点 $N$，当 $m$为何值时， $\mathit{MN}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$？

如图，抛物线 $y=m{x}^2+(m^2+3)x-(6m+9)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $B(3,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和直线 $\mathit{BC}$ 对应的函数表达式；

（2） $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

（3） $Q$ 为抛物线上一点，若 $\angle \mathit{ACQ}=45°$ ，求点 $Q$ 的坐标．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,-3)$．点 $P$为抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的一个动点．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）设点 $F$在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACF}$的周长最小时，直接写出点 $F$的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点 $P$，使点 $P$到直线 $\mathit{BC}$的距离是点 $D$到直线 $\mathit{BC}$的距离的5倍？若存在，求出点 $P$所有的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$和点 $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$是该抛物线上的动点，且位于 $y$轴的左侧．

①如图1，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，当 $\mathit{PD}=2\mathit{PE}$时，求 $\mathit{PE}$的长；

②如图2，该抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{ACP}=\angle \mathit{OCB}$？若存在，请求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+2\mathit{mx}+2m^2-m$的顶点为 $A$．

（1）求顶点 $A$的坐标（用含有字母 $m$的代数式表示）；

（2）若点 $B(2,y_B)$， $C(5,y_C)$在抛物线上，且 $y_B>y_C$，则 $m$的取值范围是 　 $m<-3.5$　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1⩽x⩽3$时，函数 $y$的最小值等于6，求 $m$的值．

阅读下面的材料：

如果函数 $y=f\left(x\right)$满足：对于自变量 $x$取值范围内的任意 $x_1$， $x_2$，

（1）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是增函数；

（2）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是减函数．

例题：证明函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

证明：任取 $x_1<x_2$，且 $x_1>0$， $x_2>0$．

则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$．

$\because x_1<x_2$且 $x_1>0$， $x_2>0$，

$\therefore x_1+x_2>0$， $x_1-x_2<0$．

$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$，即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$， $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$．

$\therefore$函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$， $f$（1） $=\frac{1}{1}=1$， $f$（2） $=\frac{1}{2}$， $f$（3） $=$　　， $f$（4） $=$　　；

（2）猜想 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$是 　　函数（填“增”或“减” $)$，并证明你的猜想．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+5$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$（如图）．抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$经过点 $A$．

[小题1]求线段 $\mathit{AB}$的长；

[小题2]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过线段 $\mathit{AB}$上的另一点 $C$，且 $\mathit{BC}=\sqrt{5}$，求这条抛物线的表达式；

[小题3]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的顶点 $D$位于 $\mathit{\Delta AOB}$内，求 $a$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．