初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+4$与两坐标轴分别相交于 $A$， $B$， $C$三点．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=90°$；

（2）点 $D$是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$作 $x$轴的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$．

①求 $\mathit{DE}+\mathit{BF}$的最大值；

②点 $G$是 $\mathit{AC}$的中点，若以点 $C$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOG}$相似，求点 $D$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象开口向上，且经过点 $A(0,\frac{3}{2})$， $B(2,-\frac{1}{2})$．

（1）求 $b$的值（用含 $a$的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在 $1⩽x⩽3$时， $y$的最大值为1，求 $a$的值；

（3）将线段 $\mathit{AB}$向右平移2个单位得到线段 $A\text{'}B\text{'}$．若线段 $A\text{'}B\text{'}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c+4a-1$仅有一个交点，求 $a$的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与 $x$轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,6)$，抛物线的顶点坐标为 $E(2,8)$，连结 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CE}$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta BCE}$的形状，并说明理由；

（3）如图2，以 $C$为圆心， $\sqrt{2}$为半径作 $\odot C$，在 $\odot C$上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{BP}+\frac{1}{2}\mathit{EP}$的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线于点 $Q$，连接 $\mathit{OQ}$，当线段 $\mathit{PQ}$长度最大时，判断四边形 $\mathit{OCPQ}$的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下， $D$是 $\mathit{OC}$的中点，过点 $Q$的直线与抛物线交于点 $E$，且 $\angle \mathit{DQE}=2\angle \mathit{ODQ}$．在 $y$轴上是否存在点 $F$，得 $\mathit{\Delta BEF}$为等腰三角形？若存在，求点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $\mathit{AC}$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线 $l$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $\mathit{AC}$ 交于点 $N$ ．当 $S_{\mathit{\Delta DMN}}=S_{\mathit{\Delta AOC}}$ 时，请直接写出 $\mathit{DM}$ 的长．

抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $B(-1,0)$， $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一点， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $E$，当 $\mathit{PE}:\mathit{BE}=1:2$时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $D$是抛物线的顶点，将抛物线沿 $\mathit{CD}$方向平移，使点 $D$落在点 $D^{\text{'}}$处，且 $D{D}^{\text{'}}=2\mathit{CD}$，点 $M$是平移后所得抛物线上位于 $D^{\text{'}}$左侧的一点， $\mathit{MN}//y$轴交直线 $O{D}^{\text{'}}$于点 $N$，连结 $\mathit{CN}$．当 $\frac{\sqrt{5}}{5}{D}^{\text{'}}N+\mathit{CN}$的值最小时，求 $\mathit{MN}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点， $\mathit{AC}=\sqrt{10}$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}=3\mathit{OA}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 $P$，使四边形 $\mathit{PBAC}$的面积最大，求出点 $P$的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$为 $x$轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$，使点 $P$、 $B$、 $M$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a$ ， $c$ 为常数， $a\ne 0)$ 经过点 $C(0,-1)$ ，顶点为 $D$ ．

（Ⅰ）当 $a=1$ 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当 $a>0$ 时，点 $E(0,1+a)$ ，若 $\mathit{DE}=2\sqrt{2}\mathit{DC}$ ，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当 $a<-1$ 时，点 $F(0,1-a)$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴， $M(m,0)$ 是 $x$ 轴上的动点， $N(m+3,-1)$ 是直线 $l$ 上的动点．当 $a$ 为何值时， $\mathit{FM}+\mathit{DN}$ 的最小值为 $2\sqrt{10}$ ，并求此时点 $M$ ， $N$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y\mathit{＝﹣}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点，其中 A点坐标为（3，0）， B点坐标为（﹣1，0），连接 AC、 BC．动点 P从点 A出发，在线段 AC上以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度向点 C做匀速运动；同时，动点 Q从点 B出发，在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t秒．

（1）求 b、 c的值．

（2）在 P、 Q运动的过程中，当 t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M，使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=x^2+2\mathit{bx}-3b$．

（1）当该二次函数的图象经过点 $A(1,0)$时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与 $x$轴的另一个交点为点 $B$，与 $y$轴的交点为点 $C$，点 $P$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AB}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，同时点 $Q$从点 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $\mathit{\Delta BPQ}$面积的最大值；

（3）若对满足 $x⩾1$的任意实数 $x$，都使得 $y⩾0$成立，求实数 $b$的取值范围．

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $(0,-2)$ ，当 $x<-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^4-2r^2+1=60r^2$ ；

（3）以下结论： $m<1$ ， $m=1$ ， $m>1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(-2,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=2\mathit{OA}$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y=\mathit{mx}+n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $\mathit{BC}$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的最小值；

（3）连接 $\mathit{AC}$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{PEQ}$ ，且满足 $\tan \angle \mathit{EQP}=\tan \angle \mathit{OCA}$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ （其中 $a>1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $\angle \mathit{OCA}$ 的度数和线段 $\mathit{AB}$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外心，且 $\mathit{\Delta BCD}$ 与 $\mathit{\Delta ACO}$ 的周长之比为 $\sqrt{10}:4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{CAP}=\angle \mathit{DBA}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$和 $B(-3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C(0,-3)$，对称轴为直线 $x=-1$，直线 $y=-2x+m$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $D$，与抛物线交于点 $E$，与对称轴交于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式和 $m$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在点 $P$，使得以 $D$、 $E$、 $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOD}$相似，若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y=1$上有 $M$、 $N$两点 $(M$在 $N$的左侧），且 $\mathit{MN}=2$，若将线段 $\mathit{MN}$在直线 $y=1$上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $\mathit{MEFN}$的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A(1,0)$ ， $C(0,-2)$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $\mathit{AC}$ 所在直线的表达式；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{BC}$ 所在直线折叠，得到 $\mathit{\Delta DBC}$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{\Delta BPQ}$ 的面积记为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABQ}$ 的面积记为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．