初中数学二次函数的性质解答题

在平面直角坐标系中，抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(n$， $0\left)\right(n⩾-4)$，顶点坐标记为 $(h_1$， $k_1)$．抛物线 $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的顶点坐标记为 $(h_2$， $k_2)$．

（1）写出 $A$点坐标；

（2）求 $k_1$， $k_2$的值（用含 $n$的代数式表示）

（3）当 $-4⩽n⩽4$时，探究 $k_1$与 $k_2$的大小关系；

（4）经过点 $M(2n+9,-5n^2)$和点 $N(2n,9-5n^2)$的直线与抛物线 $y_1=-(x+4)(x-n)$， $y_2=-{(x+2n)}^2-n^2+2n+9$的公共点恰好为3个不同点时，求 $n$的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c>2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $\mathit{AB}$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $\mathit{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-4)$．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$在抛物线上且满足 $\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{CBD}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图2， $M$是直线 $\mathit{BC}$上一个动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交抛物线于点 $N$， $Q$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，当 $\mathit{\Delta QMN}$为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$及其对应点 $Q$的坐标．

抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $B(-1,0)$， $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一点， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $E$，当 $\mathit{PE}:\mathit{BE}=1:2$时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $D$是抛物线的顶点，将抛物线沿 $\mathit{CD}$方向平移，使点 $D$落在点 $D^{\text{'}}$处，且 $D{D}^{\text{'}}=2\mathit{CD}$，点 $M$是平移后所得抛物线上位于 $D^{\text{'}}$左侧的一点， $\mathit{MN}//y$轴交直线 $O{D}^{\text{'}}$于点 $N$，连结 $\mathit{CN}$．当 $\frac{\sqrt{5}}{5}{D}^{\text{'}}N+\mathit{CN}$的值最小时，求 $\mathit{MN}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-3)$，点 $Q$为线段 $\mathit{BC}$上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\left|\mathit{QO}\right|+\left|\mathit{QA}\right|$的最小值；

（3）过点 $Q$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AC}$交抛物线的第四象限部分于点 $P$，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，记 $\mathit{\Delta PAQ}$与 $\mathit{\Delta PBQ}$面积分别为 $S_1$， $S_2$，设 $S=S_1+S_2$，求点 $P$坐标，使得 $S$最大，并求此最大值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$经过坐标原点，与 $x$轴正半轴交于点 $A$，点 $M(m,n)$是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$， $n>0$，且 $n=3m$时，

①求点 $M$的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$， $y)$在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{BM}$， $C$是线段 $\mathit{BM}$上一动点（点 $C$与点 $M$， $B$不重合），过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$，交 $x$轴于点 $D$，线段 $\mathit{OD}$与 $\mathit{MC}$是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $K$，点 $E(x,\frac{7}{3})$在对称轴上，当 $m>2$， $n>0$，且直线 $\mathit{EM}$交 $x$轴的负半轴于点 $F$时，过点 $A$作 $x$轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$于点 $N$， $G$为 $y$轴上一点，点 $G$的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$，连接 $\mathit{GF}$．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$，求证：射线 $\mathit{FE}$平分 $\angle \mathit{AFG}$．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $N(n,0)$是 $x$轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若 $n<3$，过点 $N$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，当 $n$为何值时， $\mathit{\Delta PDG}\cong \mathit{\Delta BNG}$；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BC}$绕点 $B$顺时针旋转，它恰好经过线段 $\mathit{OC}$的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$个单位长度，得到直线 $O{B}_1$．

① $\tan \angle \mathit{BO}{B}_1=$　　；

②当点 $N$关于直线 $O{B}_1$的对称点 $N_1$落在抛物线上时，求点 $N$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点， $\mathit{AC}=\sqrt{10}$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}=3\mathit{OA}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 $P$，使四边形 $\mathit{PBAC}$的面积最大，求出点 $P$的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$为 $x$轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$，使点 $P$、 $B$、 $M$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{3}{2}x+6$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，点 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $Q$是线段 $\mathit{OA}$上一动点（不与点 $O$、 $A$重合）．

（1）请直接写出点 $A$、点 $B$、点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{PQ}$，在第一象限内将 $\mathit{\Delta OPQ}$沿 $\mathit{PQ}$翻折得到 $\mathit{\Delta EPQ}$，点 $O$的对应点为点 $E$．若 $\angle \mathit{OQE}=90°$，求线段 $\mathit{AQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y=a{x}^2-2a^{2}x+a^3+a+1(a\ne 0)$的顶点为点 $C$．

①若点 $C$在 $\mathit{\Delta PQE}$内部（不包括边），求 $a$的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$，使 $|\mathit{CQ}-\mathit{CE}|$最大？若存在，请直接写出点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{kx}+h(a>0)$．

（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 $x$轴 　　（填上方或下方），即 $4\mathit{ah}-k^2$　　0（填大于或小于）时，该抛物线与 $x$轴必有两个交点；

（2）若抛物线上存在两点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$，分布在 $x$轴的两侧，则抛物线顶点必在 $x$轴下方，请你结合 $A$、 $B$两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_1<x_2$且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（3）根据二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a>0$， $(a+c)(a+b+c)<0$时， ${(b-c)}^2>4a(a+b+c)$．

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $(0,-2)$ ，当 $x<-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^4-2r^2+1=60r^2$ ；

（3）以下结论： $m<1$ ， $m=1$ ， $m>1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

如图，抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ （其中 $a>1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $\angle \mathit{OCA}$ 的度数和线段 $\mathit{AB}$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外心，且 $\mathit{\Delta BCD}$ 与 $\mathit{\Delta ACO}$ 的周长之比为 $\sqrt{10}:4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{CAP}=\angle \mathit{DBA}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$和 $B(-3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C(0,-3)$，对称轴为直线 $x=-1$，直线 $y=-2x+m$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $D$，与抛物线交于点 $E$，与对称轴交于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式和 $m$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在点 $P$，使得以 $D$、 $E$、 $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOD}$相似，若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y=1$上有 $M$、 $N$两点 $(M$在 $N$的左侧），且 $\mathit{MN}=2$，若将线段 $\mathit{MN}$在直线 $y=1$上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $\mathit{MEFN}$的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A(1,0)$ ， $C(0,-2)$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $\mathit{AC}$ 所在直线的表达式；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{BC}$ 所在直线折叠，得到 $\mathit{\Delta DBC}$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{\Delta BPQ}$ 的面积记为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABQ}$ 的面积记为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $C(2,-3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B(8,0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $\mathit{AB}$ 的表达式；

（3）判断 $\mathit{\Delta ABO}$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $\odot O$ 上的动点，且 $\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AP}$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\mathit{PB}$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．