如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y14x232x4与两

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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挑错有奖

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 与两坐标轴分别相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点．

（1）求证： $∠ ACB = 90 °$ ；

（2）点 $D$ 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．

①求 $DE + BF$ 的最大值；

②点 $G$ 是 $AC$ 的中点，若以点 $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔAOG$ 相似，求点 $D$ 的坐标．

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探究
在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；
②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；

归纳
①在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(1，1) ，B(3，3)，
则AB 的中点C的坐标__________
②无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为
A(a，b)，B(c，d)， AB中点C的坐标为______

运用
在图3中，一次函数与反比例函数的图象交点为A（-1，-3），B（3 , n）．

①求出m、n的值；
②求出一次函数的表达式；
③若四边形AOBP为平行四边形,请利用上面的结论求出顶点P的坐标．