综合与探究如图，抛物线y12x22x−6与x轴交于A，B两点

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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综合与探究

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $AC$ ， $BC$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $AC$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $BC$ 的平行线 $l$ ，交线段 $AC$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $AC$ 交于点 $N$ ．当 $S_{ΔDMN} = S_{ΔAOC}$ 时，请直接写出 $DM$ 的长．

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如图， $AB / / CD$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $CD$ 上的点，且 $EC / / BF$ ，连接 $AD$ ，分别与 $EC$ 、 $BF$ 相交于点 $G$ ， $H$ ，若 $AB = CD$ ，求证： $AG = DH$ ．

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如图，已知：在正方形 $ABCD$ 中， $M$ 是 $BC$ 边上一定点，连接 $AM$ ．请用尺规作图法，在 $AM$ 上作一点 $P$ ，使 $ΔDPA ∽ ΔABM$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

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问题提出

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = 4$ ， $∠ A = 135 °$ ，点 $B$ 关于 $AC$ 所在直线的对称点为 $B'$ ，则 $BB'$ 的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆 $O$ 的直径 $AB = 10$ ， $C$ 是 $\hat{AB}$ 的中点，点 $D$ 在 $\hat{BC}$ 上，且 $\hat{CD} = 2 \hat{BD}$ ， $P$ 是 $AB$ 上的动点，试求 $PC + PD$ 的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛 $AOB$ 的半径为 $20 m$ ， $∠ AOB = 45 °$ ．根据工程需要．现想在 $\hat{AB}$ 上选点 $P$ ，在边 $OA$ 上选点 $E$ ，在边 $OB$ 上选点 $F$ ，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个 $ΔPEF$ ，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带 $PE + EF + FP$ 的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的 $ΔPEF$ 为等腰三角形．试求 $PE + EF + FP$ 的值最小时的等腰 $ΔPEF$ 的面积．（安装损耗忽略不计）

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已知抛物线 $L : y = m x^{2} - 8 x + 3 m$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 和 $B (- 1, 0)$ 两点，并与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．抛物线 $L'$ 与 $L$ 关于坐标原点对称，点 $A$ 、 $B$ 在 $L'$ 上的对应点分别为 $A'$ 、 $B'$

（1）求抛物线 $L$ 的函数表达式；

（2）在抛物线 $L'$ 上是否存在点 $P$ ，使得△ $P A^{'} A$ 的面积等于△ $C B^{'} B$ 的面积？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $\hat{AD} = \hat{CD}$ ，过点 $D$ 作 $CB$ 的垂线，与 $CB$ 的延长线相交于点 $E$ ，并与 $AB$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径 $R = 5$ ， $AC = 8$ ，求 $DF$ 的长．

题型：未知
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