综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $\mathit{AC}$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线 $l$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $\mathit{AC}$ 交于点 $N$ ．当 $S_{\mathit{\Delta DMN}}=S_{\mathit{\Delta AOC}}$ 时，请直接写出 $\mathit{DM}$ 的长．