综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 ， ．
（1）求 、 ， 三点的坐标并直接写出直线 ， 的函数表达式．
（2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 的平行线 ，交线段 于点 ．
①试探究：在直线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．当 时，请直接写出 的长．
如图，二次函数
的图像过点
，与
轴交于点
.
（1）证明：
（其中
是原点）；
（2）在抛物线的对称轴上求一点
，使
的值最小；
（3）若
是线段
上的一个动点（不与
、
重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及
轴于
、
两点 . 请问
是否存在这样的点，使
. 若存在，
请求出点的坐标；若不存在，说明理由.
已知矩形
和点
，当点在图
中的位置时，求证：
证明：过点作
交
、
于
、
两点，
∵ 
又∵
∴
，∴
请你参考上述信息，当点分别在图
、图
中的位置时，请你分别写出
、
、
之间的数量关系?，并选择其中一种情况给予证明
在
中，
，
，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边
的中点
处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线
、
于
、
两点. 如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的三种情况，试探究：
（1）三角板绕点旋转，观察线段
和
之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；
（2）三角板绕点旋转，
是否能成为等腰三角形？若能，写出所有为等腰三角形时
的长（直接写出答案即可）；若不能，请说明理由;
（3）如图
，若将三角板的直角顶点放在斜边上的
处，且
，和前面一样操作，试问线段
和
之间有什么数量关系？并结合图④证明你的结论.
选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分
题甲：已知矩形两邻边的长
、
是方程
的两根.
（1）求
的取值范围；
（2）当矩形的对角线长为
时，求的值；
（3）当为何值时，矩形变为正方形？
题乙：如图，
是
直径，
于点
，交于
点
，且
．
（1）判断直线
和的位置关系，并给出证明；
（2）当
，
时，求
的面积．
的两侧分别有观测点
和
，点
，点
方向且与
处. 现有一艘轮船正沿该航线自西向东航行，在
点观测到点
方向，航行
分钟后，在
点观测到点
方向.
）
，
,
,
，
，
，
.
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