如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线于点 $Q$，连接 $\mathit{OQ}$，当线段 $\mathit{PQ}$长度最大时，判断四边形 $\mathit{OCPQ}$的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下， $D$是 $\mathit{OC}$的中点，过点 $Q$的直线与抛物线交于点 $E$，且 $\angle \mathit{DQE}=2\angle \mathit{ODQ}$．在 $y$轴上是否存在点 $F$，得 $\mathit{\Delta BEF}$为等腰三角形？若存在，求点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．