如图，在平面直角坐标系中，直线y−12x3与x轴交于点A，与

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $AB$ 下方的抛物线上一动点，连接 $EB$ ， $EA$ ，当 $ΔEAB$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $AB$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y = mx + n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D (2, 0)$ ，连接 $DM$ ，求证： $∠ ADM - ∠ ACM = 45 °$ ．

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某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（不需求出利润的最大值）
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）