已知点 A ( 1 , 0 ) 是抛物线 y = a x 2 + bx + m ( a , b , m 为常数, a ≠ 0 , m < 0 ) 与 x 轴的一个交点.
(Ⅰ)当 a = 1 , m = - 3 时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)若抛物线与 x 轴的另一个交点为 M ( m , 0 ) ,与 y 轴的交点为 C ,过点 C 作直线 l 平行于 x 轴, E 是直线 l 上的动点, F 是 y 轴上的动点, EF = 2 2 .
①当点 E 落在抛物线上(不与点 C 重合),且 AE = EF 时,求点 F 的坐标;
②取 EF 的中点 N ,当 m 为何值时, MN 的最小值是 2 2 ?
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC上的点,且AE=BF.求证:CE=DF.
化简:
在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.设AM=. (1)用含的代数式表示△MNP的面积S; (2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为,试求关于的函数表达式,并求为何值时,的值最大,最大值是多少?
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。 (1)求证:AC=AE; (2)求△ACD外接圆的半径。
生态公园计划在园内的坡地上造一片有A、B两种树的混合林,需要购买这两种树苗2000棵。种植A、B两种树苗的相关信息如下表:
设购买A种树苗x棵,造这片林的总费用为y元。解答下列问题: (1)写出y(元)与x(棵)之间的函数关系式; (2)假设这批树苗种植后成活1960棵,则造这片林的总费用需多少元?