初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，抛物线顶点 $P(1,4)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，与 $x$轴交于点 $A$， $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2） $Q$是抛物线上除点 $P$外一点， $\mathit{\Delta BCQ}$与 $\mathit{\Delta BCP}$的面积相等，求点 $Q$的坐标．

（3）若 $M$， $N$为抛物线上两个动点，分别过点 $M$， $N$作直线 $\mathit{BC}$的垂线段，垂足分别为 $D$， $E$．是否存在点 $M$， $N$使四边形 $\mathit{MNED}$为正方形？如果存在，求正方形 $\mathit{MNED}$的边长；如果不存在，请说明理由．

如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为 $M$，求四边形 $\mathit{ABMC}$的面积．（请在图1中探索）

（3）设点 $Q$在 $y$轴上，点 $P$在抛物线上．要使以点 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 $P$的坐标．（请在图2中探索）

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过点 $A(\sqrt{3}$， $-3)$和点 $B(3\sqrt{3}$， $0)$．过点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $D$．连接 $\mathit{OA}$，使得以 $A$， $D$， $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出对应点 $P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{\Delta AOC}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{\Delta AOQ}}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过 $O(0,0)$、 $A(1,0)$、 $B(\frac{3}{2}$， $\frac{\sqrt{3}}{2})$三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段 $\mathit{OB}$的垂直平分线与 $y$轴交于点 $C$，与二次函数的图象在 $x$轴上方的部分相交于点 $D$，求直线 $\mathit{CD}$的解析式；

（3）在直线 $\mathit{CD}$下方的二次函数的图象上有一动点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴，交直线 $\mathit{CD}$于 $Q$，当线段 $\mathit{PQ}$的长最大时，求点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点 $B$的直线交 $y$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{BD}=5\mathit{DE}$．

①求直线 $\mathit{BD}$的解析式；

②已知点 $Q$在该抛物线的对称轴 $l$上，且纵坐标为1，点 $P$是该抛物线上位于第一象限的动点，且在 $l$右侧，点 $R$是直线 $\mathit{BD}$上的动点，若 $\mathit{\Delta PQR}$是以点 $Q$为直角顶点的等腰直角三角形，求点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴相交于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{BD}$上，当 $\mathit{PE}=\mathit{PC}$时，求点 $P$的坐标．

（3）在（2）的条件下，作 $\mathit{PF}\perp x$轴于 $F$，点 $M$为 $x$轴上一动点， $N$为直线 $\mathit{PF}$上一动点， $G$为抛物线上一动点，当以点 $F$， $N$， $G$， $M$四点为顶点的四边形为正方形时，求点 $M$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$交于 $A$， $B$两点，交 $x$轴于 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MD}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$，使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2-(2a-\frac{3}{4})x+3$的图象经过点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$．在 $x$轴上有一动点 $C(m$， $0\left)\right(0<m<4)$，过点 $C$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$，交该二次函数图象于点 $D$．

（1）求 $a$的值和直线 $\mathit{AB}$的解析式；

（2）过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，设 $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta DEF}$的面积分别为 $S_1$， $S_2$，若 $S_1=4S_2$，求 $m$的值；

（3）点 $H$是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，当四边形 $\mathit{DEGH}$是平行四边形，且 $▱\mathit{DEGH}$周长取最大值时，求点 $G$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//x$轴，交抛物线于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线 $y=m(-3<m<0)$与线段 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$分别交于 $G$、 $H$两点，过 $G$点作 $\mathit{EG}\perp x$轴于点 $E$，过点 $H$作 $\mathit{HF}\perp x$轴于点 $F$，求矩形 $\mathit{GEFH}$的最大面积；

（3）若直线 $y=\mathit{kx}+1$将四边形 $\mathit{ABCD}$分成左、右两个部分，面积分别为 $S_1$， $S_2$，且 $S_1:S_2=4:5$，求 $k$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．