初中数学二次函数的性质解答题

已知直线 $y=\frac{1}{2}x+2$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}-2$经过点 $A$，和 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $D$是抛物线上的动点，且在第三象限，求 $\mathit{\Delta ABD}$面积的最大值；

（3）如图2，经过点 $M(-4,1)$的直线交抛物线于点 $P$、 $Q$，连接 $\mathit{CP}$、 $\mathit{CQ}$分别交 $y$轴于点 $E$、 $F$，求 $\mathit{OE}·\mathit{OF}$的值．

备注：抛物线顶点坐标公式 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为 $M$，求四边形 $\mathit{ABMC}$的面积．（请在图1中探索）

（3）设点 $Q$在 $y$轴上，点 $P$在抛物线上．要使以点 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 $P$的坐标．（请在图2中探索）

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$交于 $A$， $B$两点，交 $x$轴于 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MD}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$，使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴分别交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点 $C$，作 $\mathit{CD}$垂直 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，且 $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=8$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ACD}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，当点 $C$落在抛物线上时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，当点 $C$第一次落在抛物线上记为点 $E$，点 $P$是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 $Q$，使以点 $B$、 $E$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

抛物线 $y=4x^2-2\mathit{ax}+b$与 $x$轴相交于 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0\left)\right(0<x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）设 $\mathit{AB}=2$， $\tan \angle \mathit{ABC}=4$，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点 $D$为直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积最大时，求点 $D$的坐标；

（3）是否存在整数 $a$， $b$使得 $1<x_1<2$和 $1<x_2<2$同时成立，请证明你的结论．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，直接写出点 $D$的纵坐标 $n$的取值范围．

如图1，抛物线 $C_1:y=x^2+\mathit{ax}$与 $C_2:y=-x^2+\mathit{bx}$相交于点 $O$、 $C$， $C_1$与 $C_2$分别交 $x$轴于点 $B$、 $A$，且 $B$为线段 $\mathit{AO}$的中点．

（1）求 $\frac{a}{b}$的值；

（2）若 $\mathit{OC}\perp \mathit{AC}$，求 $\mathit{\Delta OAC}$的面积；

（3）抛物线 $C_2$的对称轴为 $l$，顶点为 $M$，在（2）的条件下：

①点 $P$为抛物线 $C_2$对称轴 $l$上一动点，当 $\mathit{\Delta PAC}$的周长最小时，求点 $P$的坐标；

②如图2，点 $E$在抛物线 $C_2$上点 $O$与点 $M$之间运动，四边形 $\mathit{OBCE}$的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数， $a\ne 0)$的图象过点 $O(0,0)$和点 $A(4,0)$，函数图象最低点 $M$的纵坐标为 $-\frac{8}{3}$，直线 $l$的解析式为 $y=x$．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线 $l$沿 $x$轴向右平移，得直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $B$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp x$轴于点 $E$，把 $\mathit{\Delta BCE}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E$恰好落在抛物线上点 $E\text{'}$时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（3）在（2）的条件下， $l\text{'}$与 $y$轴交于点 $N$，把 $\mathit{\Delta BON}$绕点 $O$逆时针旋转 $135°$得到△ $B\text{'}\mathit{ON}\text{'}$， $P$为 $l\text{'}$上的动点，当△ $\mathit{PB}\text{'}N\text{'}$为等腰三角形时，求符合条件的点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴相交于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{BD}$上，当 $\mathit{PE}=\mathit{PC}$时，求点 $P$的坐标．

（3）在（2）的条件下，作 $\mathit{PF}\perp x$轴于 $F$，点 $M$为 $x$轴上一动点， $N$为直线 $\mathit{PF}$上一动点， $G$为抛物线上一动点，当以点 $F$， $N$， $G$， $M$四点为顶点的四边形为正方形时，求点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以直线 $x=\frac{5}{2}$对称轴的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $l:y=\mathit{kx}+m(k>0)$交于 $A(1,1)$， $B$两点，与 $y$轴交于 $C(0,5)$，直线 $l$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线 $l$与抛物线的对称轴的交点为 $F$， $G$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FB}}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{\Delta BCG}$与 $\mathit{\Delta BCD}$面积相等，求点 $G$的坐标；

（3）若在 $x$轴上有且仅有一点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，求 $k$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．