初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线的顶点为 $A(h,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-\frac{1}{2})$ ，点 $F(2,1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C(0,-3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P(m,n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $\mathit{PF}=d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D(4,3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta DFQ}$ 的周长最小，并求此时 $\mathit{\Delta DFQ}$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{OC}=2\mathit{OB}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$．抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}$垂直 $x$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，使 $\mathit{PE}=\frac{1}{2}\mathit{DE}$．

①求点 $P$的坐标；

②在直线 $\mathit{PD}$上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta ABM}$为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-\frac{3}{2}x-2(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $B$点坐标为 $(4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$下方的抛物线上一点，求 $\mathit{\Delta MBC}$的面积的最大值，并求出此时 $M$点的坐标．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)(a>0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线上另有一点 $C$在 $x$轴下方，且使 $\mathit{\Delta OCA}\backsim \mathit{\Delta OBC}$．

（1）求线段 $\mathit{OC}$的长度；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $M$，点 $C$是 $\mathit{BM}$的中点时，求直线 $\mathit{BM}$和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上是否存在一点 $P$，使得四边形 $\mathit{ABPC}$面积最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知直线 $y=\frac{1}{2}x+2$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}-2$经过点 $A$，和 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $D$是抛物线上的动点，且在第三象限，求 $\mathit{\Delta ABD}$面积的最大值；

（3）如图2，经过点 $M(-4,1)$的直线交抛物线于点 $P$、 $Q$，连接 $\mathit{CP}$、 $\mathit{CQ}$分别交 $y$轴于点 $E$、 $F$，求 $\mathit{OE}·\mathit{OF}$的值．

备注：抛物线顶点坐标公式 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

已知二次函数 $y=-x^2+6x-5$ ．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当 $1⩽x⩽4$ 时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当 $t⩽x⩽t+3$ 时，函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m-n=3$ ，求 $t$ 的值．

如图1，抛物线 $y=-x^2+2x-1$的顶点 $A$在 $x$轴上，交 $y$轴于 $B$，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与 $x$轴交于 $C$， $D$，顶点为 $E(1,4)$．

（1）求点 $B$的坐标和平移后抛物线的解析式；

（2）点 $M$在原抛物线上，平移后的对应点为 $N$，若 $\mathit{OM}=\mathit{ON}$，求点 $M$的坐标；

（3）如图2，直线 $\mathit{CB}$与平移后的抛物线交于 $F$．在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得以 $C$， $F$， $P$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PO}$，若 $\mathit{\Delta POA}$的面积是 $\mathit{\Delta POB}$面积的 $\frac{4}{3}$倍．

①求点 $P$的坐标；

②点 $Q$为抛物线对称轴上一点，请直接写出 $\mathit{QP}+\mathit{QA}$的最小值；

（3）点 $M$为直线 $\mathit{AB}$上的动点，点 $N$为抛物线上的动点，当以点 $O$、 $B$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 $P(x,y)$的动圆经过点 $A(1,2)$且与 $x$轴相切于点 $B$．

（1）当 $x=2$时，求 $\odot P$的半径；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　　的距离等于到　　的距离的所有点的集合．

（4）当 $\odot P$的半径为1时，若 $\odot P$与以上（2）中所得函数图象相交于点 $C$、 $D$，其中交点 $D(m,n)$在点 $C$的右侧，请利用图②，求 $\cos \angle \mathit{APD}$的大小．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(\sqrt{3}$， $0)$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=3\mathit{OA}=\sqrt{3}\mathit{OC}$， $\angle \mathit{OAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $D$，过点 $A$且垂直于 $\mathit{AD}$的直线 $l$交 $y$轴于点 $E$，点 $P$是 $x$轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp x$轴，垂足为 $F$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $H$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$的横坐标为 $m$，当 $\mathit{FH}=\mathit{HP}$时，求 $m$的值；

（3）当直线 $\mathit{PF}$为抛物线的对称轴时，以点 $H$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{HC}$为半径作 $\odot H$，点 $Q$为 $\odot H$上的一个动点，求 $\frac{1}{4}\mathit{AQ}+\mathit{EQ}$的最小值．

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴为直线 $x=2$，抛物线与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$图象 $x$轴下方部分沿 $x$轴向上翻折，保留抛物线在 $x$轴上的点和 $x$轴上方图象，得到的新图象与直线 $y=t$恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$， $E$， $F$， $G$．当以 $\mathit{EF}$为直径的圆过点 $Q(2,1)$时，求 $t$的值；

（3）在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上，当 $m⩽x⩽n$时， $y$的取值范围是 $m⩽y⩽7$，请直接写出 $x$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．