初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $y$轴交于点 $A(0,6)$，与 $x$轴交于点 $B(6,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$移动到抛物线的什么位置时，使得 $\angle \mathit{PAB}=75°$，求出此时点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$从 $A$点出发沿线段 $\mathit{AB}$上方的抛物线向终点 $B$移动，在移动中，点 $P$的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$以每秒1个单位长度的速度沿 $\mathit{AO}$向终点 $O$移动，点 $P$， $M$移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$秒时，求四边形 $\mathit{PAMB}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式，并求 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OCDE}$的顶点 $C$和 $E$分别在 $y$轴的正半轴和 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=8$， $\mathit{OE}=17$，抛物线 $y=\frac{3}{20}{x}^2-3x+m$与 $y$轴相交于点 $A$，抛物线的对称轴与 $x$轴相交于点 $B$，与 $\mathit{CD}$交于点 $K$．

（1）将矩形 $\mathit{OCDE}$沿 $\mathit{AB}$折叠，点 $O$恰好落在边 $\mathit{CD}$上的点 $F$处．

①点 $B$的坐标为 $($　　、　　 $)$， $\mathit{BK}$的长是　　， $\mathit{CK}$的长是　　；

②求点 $F$的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形 $\mathit{OCDE}$沿着经过点 $E$的直线折叠，点 $O$恰好落在边 $\mathit{CD}$上的点 $G$处，连接 $\mathit{OG}$，折痕与 $\mathit{OG}$相交于点 $H$，点 $M$是线段 $\mathit{EH}$上的一个动点（不与点 $H$重合），连接 $\mathit{MG}$， $\mathit{MO}$，过点 $G$作 $\mathit{GP}\perp \mathit{OM}$于点 $P$，交 $\mathit{EH}$于点 $N$，连接 $\mathit{ON}$，点 $M$从点 $E$开始沿线段 $\mathit{EH}$向点 $H$运动，至与点 $N$重合时停止， $\mathit{\Delta MOG}$和 $\mathit{\Delta NOG}$的面积分别表示为 $S_1$和 $S_2$，在点 $M$的运动过程中， $S_1·S_2$（即 $S_1$与 $S_2$的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c+1$，

①当 $b=1$时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c=-\frac{1}{4}{b}^2-2b$，问： $b$为何值时，二次函数的图象与 $x$轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$， $b>0$，与 $y$轴的正半轴交于点 $M$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆恰好过点 $M$，二次函数的对称轴 $l$与 $x$轴、直线 $\mathit{BM}$、直线 $\mathit{AM}$分别交于点 $D$、 $E$、 $F$，且满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}=\frac{1}{3}$，求二次函数的表达式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线 $\mathit{AC}$的解析式；

（2）请在 $y$轴上找一点 $M$，使 $\mathit{\Delta BDM}$的周长最小，求出点 $M$的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点 $P$，使以点 $A$， $P$， $C$为顶点， $\mathit{AC}$为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，抛物线经过点 $D(-2,-3)$和点 $E(3,2)$，点 $P$是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $\mathit{DE}$和抛物线的表达式；

（2）在 $y$轴上取点 $F(0,1)$，连接 $\mathit{PF}$， $\mathit{PB}$，当四边形 $\mathit{OBPF}$的面积是7时，求点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$在抛物线对称轴的右侧时，直线 $\mathit{DE}$上存在两点 $M$， $N$（点 $M$在点 $N$的上方），且 $\mathit{MN}=2\sqrt{2}$，动点 $Q$从点 $P$出发，沿 $P\to M\to N\to A$的路线运动到终点 $A$，当点 $Q$的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$的对称轴是直线 $x=1$，与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-2,0)$，点 $P$为抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点 $P$在第一象限内，当 $\mathit{OD}=4\mathit{PE}$时，求四边形 $\mathit{POBE}$的面积；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，点 $N$为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 $M$和点 $N$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象交 $x$轴于点 $A(-4,0)$和点 $B$，交 $y$轴于点 $C(0,4)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点 $P$在第二象限内的抛物线上，求四边形 $\mathit{AOCP}$面积的最大值和此时点 $P$的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点 $Q$，使 $A$， $B$， $C$， $Q$四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $y$轴于点 $C$，交 $x$轴于 $A$、 $B$两点， $A(-2,0)$， $a+b=\frac{1}{2}$，点 $M$是抛物线上的动点，点 $M$在顶点和 $B$点之间运动（不包括顶点和 $B$点）， $\mathit{ME}//y$轴，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{ME}$的最大值；

（3）若点 $F$在直线 $\mathit{BC}$上， $\mathit{EF}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$， $\angle \mathit{EFM}=\angle \mathit{ACO}$，求点 $F$的坐标．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$，且与 $y$轴相交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），设点 $D$的横坐标为 $t$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线于点 $E$，点 $F$在 $\mathit{DE}$的延长线上，且 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp$直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $G$．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{\Delta DFG}$的周长为 $L$，求 $L$关于 $t$的函数关系式；

（3）直线 $m$经过点 $C$，且直线 $m//x$轴，点 $P$是直线 $m$上任意一点，过点 $P$分别作 $\mathit{PQ}\perp$直线 $\mathit{BC}$， $\mathit{PR}\perp x$轴，垂足分别为点 $Q$， $R$，若以三点 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$的坐标．