初中数学二次函数的性质解答题

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2+\frac{1}{4}$与 $y$轴相交于点 $A$，点 $B$与点 $O$关于点 $A$对称

（1）填空：点 $B$的坐标是　　；

（2）过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+b$（其中 $k<0)$与 $x$轴相交于点 $C$，过点 $C$作直线 $l$平行于 $y$轴， $P$是直线 $l$上一点，且 $\mathit{PB}=\mathit{PC}$，求线段 $\mathit{PB}$的长（用含 $k$的式子表示），并判断点 $P$是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $C$关于直线 $\mathit{BP}$的对称点 $C\text{'}$恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于两点 $A(-4,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,2)$，动点 $D$沿 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度由起点 $A$向终点 $B$运动，过点 $D$作 $x$轴的垂线，交 $\mathit{\Delta ABC}$的另一边于点 $E$，将 $\mathit{\Delta ADE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使点 $A$落在点 $F$处，设点 $D$的运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形 $\mathit{DECO}$的面积为 $s$，求 $s$关于 $t$的函数表达式．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$是 $y$轴上的一点，且以 $B$， $C$， $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，求点 $D$的坐标；

（3）如图2， $\mathit{CE}//x$轴与抛物线相交于点 $E$，点 $H$是直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的动点，过点 $H$且与 $y$轴平行的直线与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CE}$分别相交于点 $F$， $G$，试探究当点 $H$运动到何处时，四边形 $\mathit{CHEF}$的面积最大，求点 $H$的坐标及最大面积；

（4）若点 $K$为抛物线的顶点，点 $M(4,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQKM}$的周长最小，求出点 $P$， $Q$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．

如图，已知直角坐标系中， $A$、 $B$、 $D$三点的坐标分别为 $A(8,0)$， $B(0,4)$， $D(-1,0)$，点 $C$与点 $B$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）求过 $A$、 $B$、 $D$三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点 $E$从原点 $O$出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $P$，交线段 $\mathit{CA}$于点 $M$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$，设点 $E$运动的时间为 $t(0<t<4)$秒，求四边形 $\mathit{PBCA}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式，并求出四边形 $\mathit{PBCA}$的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 $H$，使得 $\mathit{\Delta ABH}$是直角三角形？若存在，请直接写出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-2)$，并与 $x$轴交于点 $C$，点 $M$是抛物线对称轴 $l$上任意一点（点 $M$， $B$， $C$三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点 $P_1$， $P_2$，使得△ $M{P}_1{P}_2$与 $\mathit{\Delta MCB}$全等，并求出点 $P_1$， $P_2$的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点 $Q$，使得 $\angle \mathit{BQC}$为直角，若存在，作出点 $Q$（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点 $Q$的坐标．

在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，顶点为 $G$．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{AC}$的解析式；

（2）如图1，设 $E(m,0)$为 $x$轴上一动点，若 $\mathit{\Delta CGE}$和 $\mathit{\Delta CGO}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta CGE}}=\frac{4}{3}{S}_{\mathit{\Delta CGO}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设点 $P$从点 $A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$轴向右运动，运动时间为 $\mathit{ts}$，点 $M$为射线 $\mathit{AC}$上一动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴交抛物线对称轴右侧部分于点 $N$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在以 $P$， $M$， $N$为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿 $\mathit{BC}$所在的直线翻折，得到 $\mathit{\Delta DBC}$，连接 $\mathit{OD}$．

（1）用含 $a$的代数式表示点 $C$的坐标．

（2）如图1，若点 $D$落在抛物线的对称轴上，且在 $x$轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设 $\mathit{\Delta OBD}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta OAC}$的面积为 $S_2$，若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{3}$，求 $a$的值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-5,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E(x,y)$为抛物线上一点，且 $-5<x<-2$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//x$轴，交抛物线的对称轴于点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EHDF}$，求矩形 $\mathit{EHDF}$周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$，使以点 $P$， $A$， $C$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-2x+4$交 $y$轴于点 $A$，交抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$于点 $B(3,-2)$，抛物线经过点 $C(-1,0)$，交 $y$轴于点 $D$，点 $P$是抛物线上的动点，作 $\mathit{PE}\perp \mathit{DB}$交 $\mathit{DB}$所在直线于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形时，求出 $\mathit{PE}$的长及 $P$点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $\mathit{PB}$，将 $\mathit{\Delta PBE}$沿直线 $\mathit{AB}$翻折，直接写出翻折点后 $E$的对称点坐标．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$，且与 $y$轴相交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），设点 $D$的横坐标为 $t$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线于点 $E$，点 $F$在 $\mathit{DE}$的延长线上，且 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp$直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $G$．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{\Delta DFG}$的周长为 $L$，求 $L$关于 $t$的函数关系式；

（3）直线 $m$经过点 $C$，且直线 $m//x$轴，点 $P$是直线 $m$上任意一点，过点 $P$分别作 $\mathit{PQ}\perp$直线 $\mathit{BC}$， $\mathit{PR}\perp x$轴，垂足分别为点 $Q$， $R$，若以三点 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$的坐标．