如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx214与y轴相交于

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} + \frac{1}{4}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，点 $B$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称

（1）填空：点 $B$ 的坐标是　　；

（2）过点 $B$ 的直线 $y = kx + b$ （其中 $k < 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴， $P$ 是直线 $l$ 上一点，且 $PB = PC$ ，求线段 $PB$ 的长（用含 $k$ 的式子表示），并判断点 $P$ 是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $C$ 关于直线 $BP$ 的对称点 $C'$ 恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 $P$ 的坐标．

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在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， ∠ ABC = α$ ，点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部.

（1）如图①， $AB = 2 AC ， PB = 3$ ，点 $M ， N$ 分别在 $AB ， BC$ 边上，则 $\cos α =________， △ PMN$ 周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $AB = 2 AC$ 不变，而 $PA = \sqrt{2} ， PB = \sqrt{10} ， PC = 1$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（3）若 $PA = m ， PB = n ， PC = k$ ，且 $k = m \cos α = n \sin α$ ，直接写出 $∠ APB$ 的度数.

题型：未知
难度：未知

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如图，一架飞机由 $A$ 向 $B$ 沿水平直线方向飞行，在航线 $AB$ 的正下方有两个山头 $C ， D$ .飞机在 $A$ 处时，测得山头 $D$ 恰好在飞机的正下方，山头 $C$ 在飞机前方，俯角为 $30^{\circ}$ .飞机飞行了 $6 km$ 到 $B$ 处时，往后测得山头 $C ， D$ 的俯角分别为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ .已知山头 $D$ 的海拔高度为 $1 km$ ，求山头 $C$ 的海拔高度.（精确到 $0.01 km$ ，已知 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式.如图， $A ， B$ 是两处海港，其中 $A$ 在 $B$ 东偏南 $30^{\circ}$ 方向 $30 \sqrt{2} km$ 处，辽宁号航母从海港 $A$ 出发，沿东偏北 $45^{\circ}$ 方向，以 $15 km / h$ 的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港 $B$ 出发，沿东偏北 $15^{\circ}$ 的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点 $C$ .

（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多长时间?

（2）求长沙舰的航行速度（结果保留根号）.

题型：未知
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如图， $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ DE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ .

（1）求证: $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 为 $9 ， \sin A = \frac{1}{3}$ .

①求线段 $BF$ 的长；

②求线段 $BE$ 的长.

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某海域有一小岛 $P$ ，在以 $P$ 为圆心，半径 $r$ 为 $10 （ 3 + \sqrt{3} ）$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60^{\circ}$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达 $B$ 处，此时观测小岛 $P$ 位于 $B$ 处北偏东 $45^{\circ}$ 方向上.

（1）求 $A ， P$ 之间的距离 $AP$ ;

（2）若海监船由 $B$ 处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由 $B$ 处开始沿南偏东至多少度的方向航行能安全通过这一海域?

题型：未知
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