如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-5,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E(x,y)$为抛物线上一点，且 $-5<x<-2$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//x$轴，交抛物线的对称轴于点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EHDF}$，求矩形 $\mathit{EHDF}$周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$，使以点 $P$， $A$， $C$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．