如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于两点 $A(-4,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,2)$，动点 $D$沿 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度由起点 $A$向终点 $B$运动，过点 $D$作 $x$轴的垂线，交 $\mathit{\Delta ABC}$的另一边于点 $E$，将 $\mathit{\Delta ADE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使点 $A$落在点 $F$处，设点 $D$的运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形 $\mathit{DECO}$的面积为 $s$，求 $s$关于 $t$的函数表达式．