初中数学二次函数的性质解答题

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过点 $A(\sqrt{3}$， $-3)$和点 $B(3\sqrt{3}$， $0)$．过点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $D$．连接 $\mathit{OA}$，使得以 $A$， $D$， $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出对应点 $P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{\Delta AOC}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{\Delta AOQ}}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线 $\mathit{AC}$，将射线 $\mathit{AC}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$交抛物线于另一点 $D$，在射线 $\mathit{AD}$上是否存在一点 $H$，使 $\mathit{\Delta CHB}$的周长最小．若存在，求出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点 $Q$为抛物线的顶点，点 $P$为射线 $\mathit{AD}$上的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$，过点 $P$作 $x$轴的垂线 $l$，垂足为 $E$，点 $P$从点 $A$出发沿 $\mathit{AD}$方向运动，直线 $l$随之运动，当 $-2<t<1$时，直线 $l$将四边形 $\mathit{ABCQ}$分割成左右两部分，设在直线 $l$左侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于 $t$的函数表达式．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图所示，将二次函数 $y=x^2+2x+1$的图象沿 $x$轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象．函数 $y=x^2+2x+1$的图象的顶点为点 $A$．函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象的顶点为点 $B$，和 $x$轴的交点为点 $C$， $D$（点 $D$位于点 $C$的左侧）．

（1）求函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的解析式；

（2）从点 $A$， $C$， $D$三个点中任取两个点和点 $B$构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点 $M$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，点 $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$三边上的动点，是否存在以 $\mathit{AM}$为斜边的 $\text{Rt}\Delta \text{AMN}$，使 $\mathit{\Delta AMN}$的面积为 $\mathit{\Delta ABC}$面积的 $\frac{1}{3}$？若存在，求 $\tan \angle \mathit{MAN}$的值；若不存在，请说明理由．

已知直线 $y=x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，点 $M$在线段 $\mathit{OA}$上，从 $O$点出发，向点 $A$以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点 $N$在线段 $\mathit{AB}$上，从点 $A$出发，向点 $B$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度匀速运动，连接 $\mathit{MN}$，设运动时间为 $t$秒

（1）求抛物线解析式；

（2）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$为直角三角形；

（3）过 $N$作 $\mathit{NH}//y$轴交抛物线于 $H$，连接 $\mathit{MH}$，是否存在点 $H$使 $\mathit{MH}//\mathit{AB}$，若存在，求出点 $H$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(5,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,\frac{5}{2})$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ACP}$是以点 $A$为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $G$为抛物线上的一动点，过点 $G$作 $\mathit{GE}$垂直于 $y$轴于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $D$，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，当线段 $\mathit{EF}$的长度最短时，求出点 $G$的坐标．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $A(0,2)$、 $B(-1,0)$，将 $\mathit{\Delta ABO}$经过旋转、平移变化后得到如图1所示的 $\mathit{\Delta BCD}$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AC}$，点 $P$是位于线段 $\mathit{BC}$上方的抛物线上一动点，若直线 $\mathit{PC}$将 $\mathit{\Delta ABC}$的面积分成 $1:3$两部分，求此时点 $P$的坐标；

（3）现将 $\mathit{\Delta ABO}$、 $\mathit{\Delta BCD}$分别向下、向左以 $1:2$的速度同时平移，求出在此运动过程中 $\mathit{\Delta ABO}$与 $\mathit{\Delta BCD}$重叠部分面积的最大值．

如图，直线 $y=5x+5$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，过 $A$， $C$两点的二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$的图象交 $x$轴于另一点 $B$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，点 $N$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，作 $\mathit{ND}\perp x$轴交二次函数的图象于点 $D$，求线段 $\mathit{ND}$长度的最大值；

（3）若点 $H$为二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$图象的顶点，点 $M(4,m)$是该二次函数图象上一点，在 $x$轴、 $y$轴上分别找点 $F$， $E$，使四边形 $\mathit{HEFM}$的周长最小，求出点 $F$， $E$的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点 $P$， $Q$的坐标分别为 $P(x_1$， $y_1)$， $Q(x_2$， $y_2)$，

当 $\mathit{PQ}$平行 $x$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|x_1-x_2|$求出；

当 $\mathit{PQ}$平行 $y$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|y_1-y_2|$求出．

如图，以 $D$为顶点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，直线 $\mathit{BC}$的表达式为 $y=-x+3$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上有一点 $P$，使 $\mathit{PO}+\mathit{PA}$的值最小，求点 $P$的坐标；

（3）在 $x$轴上是否存在一点 $Q$，使得以 $A$、 $C$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCD}$相似？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B(3,0)$， $C(0,-2)$，直线 $l:y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$交 $y$轴于点 $E$，且与抛物线交于 $A$， $D$两点， $P$为抛物线上一动点（不与 $A$， $D$重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$下方时，过点 $P$作 $\mathit{PM}//x$轴交 $l$于点 $M$， $\mathit{PN}//y$轴交 $l$于点 $N$，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$的最大值．

（3）设 $F$为直线 $l$上的点，以 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 $F$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{4}{3})$， $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=4$，直线 $l$过点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，交抛物线于点 $E$，且满足 $\tan \angle \mathit{OAD}=\frac{3}{4}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$从点 $B$出发，沿 $x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，动点 $Q$从点 $A$出发，沿射线 $\mathit{AE}$以每秒1个单位长度的速度向点 $E$运动，当点 $P$运动到点 $A$时，点 $Q$也停止运动，设运动时间为 $t$秒．

①在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta PQA}$相似，若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CAQ}$的面积之和最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$，且与 $y$轴相交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），设点 $D$的横坐标为 $t$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线于点 $E$，点 $F$在 $\mathit{DE}$的延长线上，且 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp$直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $G$．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{\Delta DFG}$的周长为 $L$，求 $L$关于 $t$的函数关系式；

（3）直线 $m$经过点 $C$，且直线 $m//x$轴，点 $P$是直线 $m$上任意一点，过点 $P$分别作 $\mathit{PQ}\perp$直线 $\mathit{BC}$， $\mathit{PR}\perp x$轴，垂足分别为点 $Q$， $R$，若以三点 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$的坐标．