已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c+1$，

①当 $b=1$时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若 $c=-\frac{1}{4}{b}^2-2b$，问： $b$为何值时，二次函数的图象与 $x$轴相切？

③若二次函数的图象与 $x$轴交于点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$， $b>0$，与 $y$轴的正半轴交于点 $M$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆恰好过点 $M$，二次函数的对称轴 $l$与 $x$轴、直线 $\mathit{BM}$、直线 $\mathit{AM}$分别交于点 $D$、 $E$、 $F$，且满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}=\frac{1}{3}$，求二次函数的表达式．