初中数学二次函数的性质解答题

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，求点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，求点 $D$的纵坐标的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C_1:y=m{x}^2+n(m\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，其中 $A(-1,0)$， $C(0,-1)$．

（1）求抛物线 $C_1$及直线 $\mathit{AC}$的解析式．

（2）沿直线 $\mathit{AC}$由 $A$至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_1$，得到新的抛物线 $C_2$， $C_2$上的点 $D$为 $C_1$上的点 $C$的对应点，若抛物线 $C_2$恰好经过点 $B$，同时与 $x$轴交于另一点 $E$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{DE}$，试判断 $\mathit{\Delta ODE}$的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$为线段 $\mathit{OE}$（不含端点）上一动点，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{DE}$于 $F$， $\mathit{PG}\perp \mathit{OD}$于点 $G$，设 $\mathit{PF}=h_1$， $\mathit{PG}=h_2$．试判断 $h_1·h_2$的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$的坐标；如不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $A(3,0)$，且 $M(1,-\frac{8}{3})$是抛物线上另一点．

（1）求 $a$、 $b$的值；

（2）连接 $\mathit{AC}$，设点 $P$是 $y$轴上任一点，若以 $P$、 $A$、 $C$三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$点的坐标；

（3）若点 $N$是 $x$轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$、 $A$重合），过点 $N$作 $\mathit{NH}//\mathit{AC}$交抛物线的对称轴于 $H$点．设 $\mathit{ON}=t$， $\mathit{\Delta ONH}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+4（a\ne 0）$与y轴交于点A，与x轴交于点 $C\mathit{（﹣}2，0）$，且经过点B（8，4），连接AB，BO，作 $\mathit{AM}\perp \mathit{OB}$于点M，将 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为　            ，顶点坐标为　           ；

（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿着OB平移后，得到 $\mathit{Rt}△\mathit{DEF}$．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形 $\mathit{AMEF}$的面积．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过 $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点，其中点 $A(1,\sqrt{3})$，点 $B(3,-\sqrt{3})$， $O$为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P(4,m)$， $Q(t,n)$为该抛物线上的两点，且 $n<m$，求 $t$的取值范围；

（3）若 $C$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，当点 $A$，点 $B$到直线 $\mathit{OC}$的距离之和最大时，求 $\angle \mathit{BOC}$的大小及点 $C$的坐标．

如图1，抛物线 $y_1=a{x}^2-\frac{1}{2}x+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,\frac{3}{4})$，抛物线 $y_1$的顶点为 $G$， $\mathit{GM}\perp x$轴于点 $M$．将抛物线 $y_1$平移后得到顶点为 $B$且对称轴为直线 $l$的抛物线 $y_2$．

（1）求抛物线 $y_2$的解析式；

（2）如图2，在直线 $l$上是否存在点 $T$，使 $\mathit{\Delta TAC}$是等腰三角形？若存在，请求出所有点 $T$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $P$为抛物线 $y_1$上一动点，过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线 $y_2$于点 $Q$，点 $Q$关于直线 $l$的对称点为 $R$，若以 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AMG}$全等，求直线 $\mathit{PR}$的解析式．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过 $A(2,0)$、 $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$是该抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m(m>4)$．

（1）求该抛物线的表达式和 $\angle \mathit{ACB}$的正切值；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACP}=45°$，求 $m$的值；

（3）如图3，过点 $A$、 $P$的直线与 $y$轴于点 $N$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $M$，直线 $\mathit{MN}$与 $x$轴交于点 $Q$，试判断四边形 $\mathit{ADMQ}$的形状，并说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$、 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $N$，点 $M$为抛物线的顶点，对称轴与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{AM}$，点 $E$是线段 $\mathit{AM}$上方抛物线上一动点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，交 $\mathit{AM}$于点 $D$．点 $P$是 $y$轴上一动点，当 $\mathit{EF}$取最大值时：

①求 $\mathit{PD}+\mathit{PC}$的最小值；

②如图2， $Q$点为 $y$轴上一动点，请直接写出 $\mathit{DQ}+\frac{1}{4}\mathit{OQ}$的最小值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$， $B(2,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$，线段 $\mathit{BC}$的中垂线与对称轴 $l$交于点 $D$，与 $x$轴交于点 $F$，与 $\mathit{BC}$交于点 $E$，对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $H$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$为 $x$轴上一点， $\odot P$与直线 $\mathit{BC}$相切于点 $Q$，与直线 $\mathit{DE}$相切于点 $R$．求点 $P$的坐标；

（4）点 $M$为 $x$轴上方抛物线上的点，在对称轴 $l$上是否存在一点 $N$，使得以点 $D$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 $N$点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．