如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．