在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-2)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，记 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，过点 $O$ 作直线 $l//\mathit{BC}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线 $l$ 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $\mathit{\Delta PQB}\backsim \mathit{\Delta CAB}$ ．若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．