初中数学二次函数的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$过 $A(1,0)$、 $B(-3,0)$，直线 $\mathit{AD}$交抛物线于点 $D$，点 $D$的横坐标为 $-2$，点 $P(m,n)$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，过点 $P$的直线垂直于 $x$轴，交抛物线于点 $Q$．

（1）求直线 $\mathit{AD}$及抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{PQ}$的长度 $l$与 $m$的关系式， $m$为何值时， $\mathit{PQ}$最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数） $R$，使得 $P$、 $Q$、 $D$、 $R$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $R$的坐标；若不存在，说明理由．

如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为 $M$，求四边形 $\mathit{ABMC}$的面积．（请在图1中探索）

（3）设点 $Q$在 $y$轴上，点 $P$在抛物线上．要使以点 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 $P$的坐标．（请在图2中探索）

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，求点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，求点 $D$的纵坐标的取值范围．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c(a\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A(0,4)$，与 $x$轴交于点 $B$、 $C$，点 $C$坐标为 $(8,0)$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）请直接写出二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）若点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $A$、 $N$、 $C$为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 $N$的坐标；

（4）如图2，若点 $N$在线段 $\mathit{BC}$上运动（不与点 $B$、 $C$重合），过点 $N$作 $\mathit{NM}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，当 $\mathit{\Delta AMN}$面积最大时，求此时点 $N$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过 $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点，其中点 $A(1,\sqrt{3})$，点 $B(3,-\sqrt{3})$， $O$为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P(4,m)$， $Q(t,n)$为该抛物线上的两点，且 $n<m$，求 $t$的取值范围；

（3）若 $C$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，当点 $A$，点 $B$到直线 $\mathit{OC}$的距离之和最大时，求 $\angle \mathit{BOC}$的大小及点 $C$的坐标．

如图，抛物线经过原点 $O(0,0)$，点 $A(1,1)$，点 $B(\frac{7}{2},0)$．

（1）求抛物线解析式；

（2）连接 $\mathit{OA}$，过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp \mathit{OA}$交抛物线于 $C$，连接 $\mathit{OC}$，求 $\mathit{\Delta AOC}$的面积；

（3）点 $M$是 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{OM}$，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{OM}$交 $x$轴于点 $N$．问：是否存在点 $M$，使以点 $O$， $M$， $N$为顶点的三角形与（2）中的 $\mathit{\Delta AOC}$相似，若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线顶点 $P(1,4)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，与 $x$轴交于点 $A$， $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2） $Q$是抛物线上除点 $P$外一点， $\mathit{\Delta BCQ}$与 $\mathit{\Delta BCP}$的面积相等，求点 $Q$的坐标．

（3）若 $M$， $N$为抛物线上两个动点，分别过点 $M$， $N$作直线 $\mathit{BC}$的垂线段，垂足分别为 $D$， $E$．是否存在点 $M$， $N$使四边形 $\mathit{MNED}$为正方形？如果存在，求正方形 $\mathit{MNED}$的边长；如果不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，且经过点 $(4,1)$，如图，直线 $y=\frac{1}{4}x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，直线 $l$为 $y=-1$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+B$取得最小值？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F(x_0$， $y_0)$为平面内一定点， $M(m,n)$为抛物线上一动点，且点 $M$到直线 $l$的距离与点 $M$到点 $F$的距离总是相等，求定点 $F$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．