在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2, 0)$ ，且经过点 $(4, 1)$ ，如图，直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l$ 为 $y = - 1$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$ 上是否存在一点 $P$ ，使 $PA + B$ 取得最小值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F (x_{0}$ ， $y_{0})$ 为平面内一定点， $M (m, n)$ 为抛物线上一动点，且点 $M$ 到直线 $l$ 的距离与点 $M$ 到点 $F$ 的距离总是相等，求定点 $F$ 的坐标．

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已知 $y = \frac{2}{x}$ ，且 $x \neq y$ ，求 $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \div \frac{x^{2} y}{x^{2} - y^{2}}$ 的值．

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如图， $E$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $CB$ 上的一点， $AF ⊥ DE$ 于点 $F$ ， $AB = 3$ ， $AD = 2$ ， $CE = 1$ ．求 $DF$ 的长度．

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计算： $| - 2 | - 2 \cos 60 ° + {(π - 2020)}^{0}$ ．

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（阅读理解）

用 $10 cm \times 20 cm$ 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为 $20 cm$ 的图案．已知长度为 $10 cm$ 、 $20 cm$ 、 $30 cm$ 的所有图案如下：

（尝试操作）

如图，将小方格的边长看作 $10 cm$ ，请在方格纸中画出长度为 $40 cm$ 的所有图案．

（归纳发现）

观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．

图案的长度	$10 cm$	$20 cm$	$30 cm$	$40 cm$	$50 cm$	$60 cm$
所有不同图案的个数	1	2	3

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如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 为 $\hat{BC}$ 的中点．过点 $D$ 作直线 $AC$ 的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $OD$ ．

（1）求证： $∠ A = ∠ DOB$ ；

（2） $DE$ 与 $⊙ O$ 有怎样的位置关系？请说明理由．

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