初中数学二次函数的性质解答题

阅读下面的材料：

如果函数 $y=f\left(x\right)$满足：对于自变量 $x$取值范围内的任意 $x_1$， $x_2$，

（1）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是增函数；

（2）若 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$，则称 $f\left(x\right)$是减函数．

例题：证明函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

证明：任取 $x_1<x_2$，且 $x_1>0$， $x_2>0$．

则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$．

$\because x_1<x_2$且 $x_1>0$， $x_2>0$，

$\therefore x_1+x_2>0$， $x_1-x_2<0$．

$\therefore (x_1+x_2)(x_1-x_2)<0$，即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$， $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$．

$\therefore$函数 $f\left(x\right)=x^2(x>0)$是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$， $f$（1） $=\frac{1}{1}=1$， $f$（2） $=\frac{1}{2}$， $f$（3） $=$　　， $f$（4） $=$　　；

（2）猜想 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}(x>0)$是 　　函数（填“增”或“减” $)$，并证明你的猜想．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2-x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．直线 $l$与抛物线交于 $A$， $D$两点，与 $y$轴交于点 $E$，点 $D$的坐标为 $(4,-3)$．

（1）请直接写出 $A$， $B$两点的坐标及直线 $l$的函数表达式；

（2）若点 $P$是抛物线上的点，点 $P$的横坐标为 $m(m⩾0)$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为 $M$． $\mathit{PM}$与直线 $l$交于点 $N$，当点 $N$是线段 $\mathit{PM}$的三等分点时，求点 $P$的坐标；

（3）若点 $Q$是 $y$轴上的点，且 $\angle \mathit{ADQ}=45°$，求点 $Q$的坐标．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-2,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $P$是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$，若 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=\frac{15}{2}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图乙，过 $A$， $B$， $P$三点作 $\odot M$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $D$，交 $\odot M$于点 $E$．点 $P$在运动过程中线段 $\mathit{DE}$的长是否变化，若有变化，求出 $\mathit{DE}$的取值范围；若不变，求 $\mathit{DE}$的长．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-4,0)$， $P$是抛物线上一点（点 $P$与点 $A$、 $B$、 $C$不重合）．

（1） $b=$　　，点 $B$的坐标是　　；

（2）设直线 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $M$，是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}:\mathit{MB}=1:2$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，判断 $\angle \mathit{CAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的数量关系，并说明理由．

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $A$在 $x$轴上，点 $B$在 $y$轴上，点 $C(3,1)$，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}-\frac{3}{2}$的图象经过点 $C$．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y=a{(x-h)}^2+k$的形式；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $x$轴正方向平移，当点 $B$落在抛物线上时，求 $\mathit{\Delta ABC}$扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$的点 $P$，使 $\mathit{\Delta ABP}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $x$轴分别交于 $A(1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$

（1）求此二次函数解析式；

（2）点 $D$为抛物线的顶点，试判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状，并说明理由；

（3）将直线 $\mathit{BC}$向上平移 $t(t>0)$个单位，平移后的直线与抛物线交于 $M$， $N$两点（点 $M$在 $y$轴的右侧），当 $\mathit{\Delta AMN}$为直角三角形时，求 $t$的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过点 $A(\sqrt{3}$， $-3)$和点 $B(3\sqrt{3}$， $0)$．过点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $D$．连接 $\mathit{OA}$，使得以 $A$， $D$， $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出对应点 $P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{\Delta AOC}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{\Delta AOQ}}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为 $M$，求四边形 $\mathit{ABMC}$的面积．（请在图1中探索）

（3）设点 $Q$在 $y$轴上，点 $P$在抛物线上．要使以点 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 $P$的坐标．（请在图2中探索）

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．