如图，二次函数y−13x2bx2的图象与x轴交于点A、B，与

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + bx + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 0)$ ， $P$ 是抛物线上一点（点 $P$ 与点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 不重合）．

（1） $b =$ 　　，点 $B$ 的坐标是　　；

（2）设直线 $PB$ 与直线 $AC$ 相交于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使得 $PM : MB = 1 : 2$ ？若存在，求出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $AC$ 、 $BC$ ，判断 $∠ CAB$ 和 $∠ CBA$ 的数量关系，并说明理由．

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先化简，再求值： ${(x + 1)}^{2} + (2 + x) (2 - x)$ ，其中 $x = 1$ ．

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中，点 $P$ 为斜边 $BC$ 上一动点，将 $ΔABP$ 沿直线 $AP$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B'$ ，连接 $AB'$ ， $CB'$ ， $BB'$ ， $PB'$ ．

（1）如图①，若 $PB' ⊥ AC$ ，证明： $PB' = AB'$ ．

（2）如图②，若 $AB = AC$ ， $BP = 3 PC$ ，求 $\cos ∠ B' AC$ 的值．

（3）如图③，若 $∠ ACB = 30 °$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $AB = CB'$ ．若存在，求此时 $\frac{PC}{BC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过点 $(1, 1)$ 和 $(4, 1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a = - 1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_{1}$ ．

①求抛物线 $C_{1}$ 的解析式．

②设抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_{1}$ 上一动点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．