初中数学二次函数的性质解答题

在平面直角坐标系中，我们定义直线 $y=\mathit{ax}-a$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数， $a\ne 0)$的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 $y$轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线 $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{4\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$与其“梦想直线”交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴负半轴交于点 $C$．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　         　，点 $A$的坐标为　   　，点 $B$的坐标为　   　；

（2）如图，点 $M$为线段 $\mathit{CB}$上一动点，将 $\mathit{\Delta ACM}$以 $\mathit{AM}$所在直线为对称轴翻折，点 $C$的对称点为 $N$，若 $\mathit{\Delta AMN}$为该抛物线的“梦想三角形”，求点 $N$的坐标；

（3）当点 $E$在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 $F$，使得以点 $A$、 $C$、 $E$、 $F$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $E$、 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点， $C$为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连结 $\mathit{BC}$，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{4}{3}$，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $P$是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 $P$作 $x$轴的平行线交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{PE}$交抛物线于点 $F$，连结 $\mathit{FB}$、 $\mathit{FC}$，求 $\mathit{\Delta BCF}$的面积的最大值；

②连结 $\mathit{PB}$，求 $\frac{3}{5}\mathit{PC}+\mathit{PB}$的最小值．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点，点 $D(x,y)$为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为3时，求点 $D$的坐标；

（3）过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中的某个角等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$的横坐标．依此即可得解．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $(-2,1)$， $(2,-3)$两点．

（1）求 $b$的值；

（2）当 $c>-1$时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．

（3）设 $(m,0)$是该函数的图象与 $x$轴的一个公共点．当 $-1<m<3$时，结合函数的图象，直接写出 $a$的取值范围．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，直接写出点 $D$的纵坐标 $n$的取值范围．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$分别相交于 $A$， $B$两点，且此抛物线与 $x$轴的一个交点为 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MC}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，顶点为 $D(0,4)$， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，设点 $F(m,0)$是 $x$轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$绕点 $F$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数表达式；

（2）若抛物线 $C\text{'}$与抛物线 $C$在 $y$轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$的取值范围．

（3）如图2， $P$是第一象限内抛物线 $C$上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$在抛物线 $C\text{'}$上的对应点 $P\text{'}$，设 $M$是 $C$上的动点， $N$是 $C\text{'}$上的动点，试探究四边形 $\mathit{PMP}\text{'}N$能否成为正方形？若能，求出 $m$的值；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-3,0)$， $B(-2,3)$， $C(0,3)$，其顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $M(1,m)$，当 $\mathit{MB}+\mathit{MD}$的值最小时，求 $m$的值；

（3）若 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一个动点，求 $\mathit{\Delta APC}$的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $N$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上任意一点，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{ND}$交抛物线于点 $F$，以 $N$， $D$， $E$， $F$为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 $E$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+3$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$， $B$两点，经过 $A$， $B$两点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的正半轴相交于点 $C(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $P$为线段 $\mathit{AB}$上一点， $\angle \mathit{APO}=\angle \mathit{ACB}$，求 $\mathit{AP}$的长；

（3）在（2）的条件下，设 $M$是 $y$轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 $N$，使得以 $A$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．