如图1,矩形 OABC 的顶点 A , C 的坐标分别为 ( 4 , 0 ) , ( 0 , 6 ) ,直线 AD 交 BC 于点 D , tan ∠ OAD = 2 ,抛物线 M 1 : y = a x 2 + bx ( a ≠ 0 ) 过 A , D 两点.
(1)求点 D 的坐标和抛物线 M 1 的表达式;
(2)点 P 是抛物线 M 1 对称轴上一动点,当 ∠ CPA = 90 ° 时,求所有符合条件的点 P 的坐标;
(3)如图2,点 E ( 0 , 4 ) ,连接 AE ,将抛物线 M 1 的图象向下平移 m ( m > 0 ) 个单位得到抛物线 M 2 .
①设点 D 平移后的对应点为点 D ' ,当点 D ' 恰好在直线 AE 上时,求 m 的值;
②当 1 ⩽ x ⩽ m ( m > 1 ) 时,若抛物线 M 2 与直线 AE 有两个交点,求 m 的取值范围.
5月18日,我市九年级学生安全有序开学复课.为切实做好疫情防控工作,开学前夕,我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生.已知每盒口罩有100只,每盒水银体温计有10支,每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元.用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同.
(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元?
(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计,且口罩和水银体温计均整盒购买.设购买口罩 m 盒 ( m 为正整数),则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套?请用含 m 的代数式表示.
(3)在民联药店累计购医用品超过1800元后,超出1800元的部分可享受8折优惠.该校按(2)中的配套方案购买,共支付 w 元,求 w 关于 m 的函数关系式.若该校九年级有900名学生,需要购买口罩和水银体温计各多少盒?所需总费用为多少元?
如图,在 Rt Δ ABC 中, ∠ C = 90 ° ,点 O 在 AC 上,以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D ,交 AC 于点 E ,过点 D 作半圆 O 的切线 DF ,交 BC 于点 F .
(1)求证: BF = DF ;
(2)若 AC = 4 , BC = 3 , CF = 1 ,求半圆 O 的半径长.
随着科技的进步和网络资源的丰富,在线阅读已成为很多人选择的阅读方式.为了解同学们在线阅读情况,某校园小记者随机调查了本校部分同学,并统计他们平均每天的在线阅读时间 t (单位: min ) ,然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表.
在线阅读时间频数分布表
组别
在线阅读时间 t
人数
A
10 ⩽ t < 30
4
B
30 ⩽ t < 50
8
C
50 ⩽ t < 70
a
D
70 ⩽ t < 90
16
E
90 ⩽ t < 110
2
根据以上图表,答案下列问题:
(1)这次被调查的同学共有 人, a = , m = ;
(2)求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数;
(3)若该校有950名学生,请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于 50 min ?
如图,已知一次函数 y 1 = kx + b 与反比例函数 y 2 = m x 的图象在第一、三象限分别交于 A ( 6 , 1 ) , B ( a , - 3 ) 两点,连接 OA , OB .
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2) ΔAOB 的面积为 ;
(3)直接写出 y 1 > y 2 时 x 的取值范围.
如图,在 ▱ ABCD 中,以点 B 为圆心, BA 长为半径画弧,交 BC 于点 E ,在 AD 上截取 AF = BE .连接 EF .
(1)求证:四边形 ABEF 是菱形;
(2)请用无刻度的直尺在 ▱ ABCD 内找一点 P ,使 ∠ APB = 90 ° .(标出点 P 的位置,保留作图痕迹,不写作法)