已知抛物线yax2bxc与x轴交于A(1,0)，B(5,0)

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ 两点， $C$ 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，连结 $BC$ ，且 $\tan ∠ CBD = \frac{4}{3}$ ，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $P$ 是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交线段 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ PE$ 交抛物线于点 $F$ ，连结 $FB$ 、 $FC$ ，求 $ΔBCF$ 的面积的最大值；

②连结 $PB$ ，求 $\frac{3}{5} PC + PB$ 的最小值．

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如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形， $F$ 是 $CD$ 的中点，连接 $AF$ 并延长与 $BC$ 的延长线交于点 $E$ ．求证： $BC = CE$ ．

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（1）求证： $∠ CAB = ∠ CAD$ ；

（2）求证： $PC = PF$ ；

（3）若 $\tan ∠ ABC = \frac{3}{2}$ ， $AE = 5 \sqrt{2}$ ，求线段 $PC$ 的长．

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（2）试判断 $ΔABC$ 的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$ 运动，同时动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$ 运动（当点 $P$ 运动到点 $B$ 时，点 $Q$ 随之停止运动），设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时 $ΔPBQ$ 与 $ΔABC$ 相似？

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选择课程	音乐	体育	美术	舞蹈
所占百分比	$a$	$30 %$	$b$	$c$

根据以上统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为　　人；其中 $a =$ 　　 $%$ ； $b =$ 　　 $%$ ； $c =$ 　　 $%$ ；

（2）请把条形图补充完整；

（3）若该校共有学生1000名，请估计该校选择“美术”的学生有多少人．

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