如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+3$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$， $B$两点，经过 $A$， $B$两点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的正半轴相交于点 $C(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $P$为线段 $\mathit{AB}$上一点， $\angle \mathit{APO}=\angle \mathit{ACB}$，求 $\mathit{AP}$的长；

（3）在（2）的条件下，设 $M$是 $y$轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 $N$，使得以 $A$， $P$， $M$， $N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．