如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P(x,y)的动圆经过点A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 $P (x, y)$ 的动圆经过点 $A (1, 2)$ 且与 $x$ 轴相切于点 $B$ ．

（1）当 $x = 2$ 时，求 $⊙ P$ 的半径；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　　的距离等于到　　的距离的所有点的集合．

（4）当 $⊙ P$ 的半径为1时，若 $⊙ P$ 与以上（2）中所得函数图象相交于点 $C$ 、 $D$ ，其中交点 $D (m, n)$ 在点 $C$ 的右侧，请利用图②，求 $\cos ∠ APD$ 的大小．

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（1）请求出 $A$ ， $B$ 两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 $A$ ， $B$ 种植亩数不变的情况下，预计 $A$ ， $B$ 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ．由于 $B$ 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨 $a %$ ，而 $A$ 品种的售价不变． $A$ ， $B$ 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 $\frac{20}{9} a %$ ．求 $a$ 的值．

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定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

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（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

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（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$	$\dots$	$- \frac{15}{13}$	$- \frac{24}{17}$		$- \frac{12}{5}$	$- 3$	0	3	$\frac{12}{5}$		$\frac{24}{17}$	$\frac{15}{13}$	$\dots$

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“ $\sqrt$ ”，错误的在答题卡上相应的括号内打“ $\times$ ”；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 $y$ 轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 $x = 1$ 时，函数取得最大值3；当 $x = - 1$ 时，函数取得最小值 $- 3$ ．

③当 $x < - 1$ 或 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $- 1 < x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．

（3）已知函数 $y = 2 x - 1$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $\frac{6 x}{x^{2} + 1} > 2 x - 1$ 的解集（保留1位小数，误差不超过 $0.2)$ ．

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（1）若 $∠ AOE = 50 °$ ，求 $∠ ACB$ 的度数；

（2）求证： $AE = CF$ ．

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为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

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八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

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年级	平均数	众数	中位数	8分及以上人数所占百分比
七年级	7.5	$a$	7	$45 %$
八年级	7.5	8	$b$	$c$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中的 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；

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