已知二次函数 的图象开口向上,且经过点 , .
(1)求 的值(用含 的代数式表示);
(2)若二次函数 在 时, 的最大值为1,求 的值;
(3)将线段 向右平移2个单位得到线段 .若线段 与抛物线 仅有一个交点,求 的取值范围.
学习了图形的旋转之后,小明知道,将点 绕着某定点 顺时针旋转一定的角度 ,能得到一个新的点 ,经过进一步探究,小明发现,当上述点 在某函数图象上运动时,点 也随之运动,并且点 的运动轨迹能形成一个新的图形.
试根据下列各题中所给的定点 的坐标、角度 的大小来解决相关问题.
【初步感知】
如图1,设 , ,点 是一次函数 图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点 .
(1)点 旋转后,得到的点 的坐标为 ;
(2)若点 的运动轨迹经过点 ,求原一次函数的表达式.
【深入感悟】
如图2,设 , ,点 是反比例函数 的图象上的动点,过点 作二、四象限角平分线的垂线,垂足为 ,求 的面积.
【灵活运用】
如图3,设 , ,点 是二次函数 图象上的动点,已知点 、 ,试探究 的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点,其中 A点坐标为(3,0), B点坐标为(﹣1,0),连接 AC、 BC.动点 P从点 A出发,在线段 AC上以每秒 个单位长度向点 C做匀速运动;同时,动点 Q从点 B出发,在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接 PQ,设运动时间为 t秒.
(1)求 b、 c的值.
(2)在 P、 Q运动的过程中,当 t为何值时,四边形 BCPQ的面积最小,最小值为多少?
(3)在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M,使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象经过点 ,点 .
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当 时,求二次函数 的最大值和最小值;
(3)点 为此函数图象上任意一点,其横坐标为 ,过点 作 轴,点 的横坐标为 .已知点 与点 不重合,且线段 的长度随 的增大而减小.
①求 的取值范围;
②当 时,直接写出线段 与二次函数 的图象交点个数及对应的 的取值范围.
如图,抛物线 交 轴于 , 两点,交 轴于点 ,动点 在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当以 , , 为顶点的三角形周长最小时,求点 的坐标及 的周长;
(3)若点 是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点 ,使得以 , , , 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
已知抛物线 .
(1)通过配方可以将其化成顶点式为 ,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在 轴 (填上方或下方),即 0(填大于或小于)时,该抛物线与 轴必有两个交点;
(2)若抛物线上存在两点 , , , ,分布在 轴的两侧,则抛物线顶点必在 轴下方,请你结合 、 两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设 且都不等于顶点的横坐标;另如果需要借助图象辅助说明,可自己画出简单示意图)
(3)根据二次函数(1)(2)结论,求证:当 , 时, .
抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,且 , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点 是抛物线上位于直线 上方的一点, 与 相交于点 ,当 时,求点 的坐标;
(3)如图2,点 是抛物线的顶点,将抛物线沿 方向平移,使点 落在点 处,且 ,点 是平移后所得抛物线上位于 左侧的一点, 轴交直线 于点 ,连结 .当 的值最小时,求 的长.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 过点 , ,点 为第二象限抛物线上一点,连接 , , ,其中 与 轴交于点 ,且 .
(1)求点 坐标;
(2)点 为线段 上一动点 不与 , 重合),过点 作平行于 轴的直线 与 的边分别交于 , 两点,将 沿直线 翻折得到△ ,设四边形 的面积为 ,在点 移动过程中,求 与 的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若 ,请写出所有满足条件的 值.
已知二次函数 .
(1)当该二次函数的图象经过点 时,求该二次函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,二次函数图象与 轴的另一个交点为点 ,与 轴的交点为点 ,点 从点 出发在线段 上以每秒2个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动,直到其中一点到达终点时,两点停止运动,求 面积的最大值;
(3)若对满足 的任意实数 ,都使得 成立,求实数 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中,直线 与坐标轴交于 , 两点,点 在 轴上,点 在 轴上, 点的坐标为 ,抛物线 经过点 , , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象写出不等式 的解集;
(3)点 是抛物线上的一动点,过点 作直线 的垂线段,垂足为 点.当 时,求 点的坐标.
已知二次函数 .
(1)若 , ,求方程 的根的判别式的值;
(2)如图所示,该二次函数的图象与 轴交于点 , 、 , ,且 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 在线段 上,连接 、 ,满足 , .
①求证: ;
②连接 ,过点 作 于点 ,点 在 轴的负半轴上,连接 ,且 ,求 的值.
在平面直角坐标系中,抛物线 为常数)的顶点为 .
(1)当 时,点 的坐标是 ,抛物线与 轴交点的坐标是 ;
(2)若点 在第一象限,且 ,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值 随 的增大而减小时 的取值范围;
(3)当 时,若函数 的最小值为3,求 的值;
(4)分别过点 、 作 轴的垂线,交抛物线的对称轴于点 、 .当抛物线 与四边形 的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点 、点 ,且点 的纵坐标大于点 的纵坐标.若点 到 轴的距离与点 到 轴的距离相等,直接写出 的值.
如图,抛物线 与 轴交于点 和点 ,与 轴交于点 ,连接 , ,点 是抛物线第一象限上的一动点,过点 作 轴于点 ,交 于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,作 于点 ,使 ,以 , 为邻边作矩形 .当矩形 的面积是 面积的3倍时,求点 的坐标;
(3)如图2,当点 运动到抛物线的顶点时,点 在直线 上,若以点 、 、 为顶点的三角形是锐角三角形,请直接写出点 纵坐标 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .