已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$ ．

（1）若 $a=\frac{1}{2}$ ， $b=c=-2$ ，求方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$ 的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A(x_1$ ， $0)$ 、 $B(x_2$ ， $0)$ ，且 $x_1<0<x_2$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $\mathit{OC}$ 上，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ，满足 $\angle \mathit{ACO}=\angle \mathit{ABD}$ ， $-\frac{b}{a}+c=x_1$ ．

①求证： $\mathit{\Delta AOC}\cong \mathit{\Delta DOB}$ ；

②连接 $\mathit{BC}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $F(0,x_1-x_2)$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $\angle \mathit{ACO}=\angle \mathit{CAF}+\angle \mathit{CBD}$ ，求 $\frac{c}{x_1}$ 的值．